Question

Даны координаты точек A (-4,-2,-5), B(1,8,-5), C(0,4,-4), D(9,-2,-10 ). Найти: 1) уравнение плоскости p , проходящей через точки A B C; 2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку D , перпендикулярно плоскости p ; 3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными плоскостями xoy, xoz, yoz; 4) расстояние от точки D до плоскости p .

Answer 1

Даны координаты точек A (-4,-2,-5), B(1,8,-5), C(0,4,-4), D(9,-2,-10 ).

Найти:  

1) уравнение плоскости p , проходящей через точки A B C.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - x1  y - y1  z - z1  = 0

x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1

x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1

x - (-4)  y - (-2)  z - (-5)  = 0

1 - (-4)  8 - (-2)  (-5) - (-5)

0 - (-4)  4 - (-2)  (-4) - (-5)

x - (-4)  y - (-2)  z - (-5)  = 0

5                 10                  0

4                 6                  1

(x -(-4))(10·1-0·6) - (y -(-2) )(5·1 -0·4) + (z -(-5))(5·6- 10·4) = 0

10 (x -  (-4) ) +  (-5) (y -  (-2) ) +  (-10) (z -  (-5) ) = 0

10x  -  5y  -  10z -  20  =  0, после сокращения на 5 имеем:

2x  -  y  -  2z -  4  =  0.

2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку D ,

перпендикулярно плоскости p. Нормальный вектор плоскости АВС равен направляющему вектору прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

a: (x - 9)/2 = (y + 2)/(-1) = (z + 10)/(-2).

3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными

плоскостями xOy, xOz, yOz.

Для этого представим прямую а в параметрическом виде:  

 (x-9)/2 = t или x = 2t + 9

(y+2)/(-1) = t или y = -t - 2  

(z+10)/(-2) = t или z = -2t - 10.

Подставив найденные значения x,y,z в уравнение плоскости, получаем:  

4t + 18 + t + 2 + 4t + 20 - 4 =  0  

9t = -36,   t = -36/9 = -4.

Подставим значение t = -4 в параметрическое уравнение прямой. Тогда получим:  

x = 1, y = 1, z = -2.

При пересечении прямой α с координатными  плоскостями xOy, xOz, yOz координаты соответственно равны: z =0, y = 0, x = 0.

z = 0       -2y - 4 = -10       y = 6/2 = 3.

y = 0       x - 9 = 4            x = 4 + 9 = 13.

x = 0       2z + 20 = 18     z = -2/2 = -1.

4) расстояние от точки D до плоскости p .

Это расстояние находится по формуле:  

|ДM| = √((xm-xs)*(xm-xs)+(ym-ys)*(ym-ys)+(zm-zs)*(zm-zs))

Координаты векторов AB, AC, AД равны:

AB = (5,  10,  0)

AC = (4,  6,  1)

AД = (13,  0,  -5)

Координаты векторного произведения AB и AC:   [ABxAC] = (10,  -5,  -10)

Модуль векторного произведения AB и AC: |[ABxAC]| = √(225) = 15

Модуль смешанного произведения AД, AB, AC: |AS[ABxAC]| = 180.

Расстояние от точки S до плоскости ABC вычисляется по формуле

|ДM| = |AS[ABxAC]| / |[ABxAC]|.

|ДM| = 180 / √(225) = 12 = 12.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте последовательно выполним каждый пункт:

1. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C. Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, а (x, y, z) - произвольные координаты точки на плоскости.

Шаг 1: Найдем два вектора, лежащих в плоскости AB и AC: Вектор AB = B - A = (1 - (-4), 8 - (-2), -5 - (-5)) = (5, 10, 0) Вектор AC = C - A = (0 - (-4), 4 - (-2), -4 - (-5)) = (4, 6, -1)

Шаг 2: Найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормальный вектор к плоскости: Нормальный вектор N = AB x AC = (10, 20, 0) x (4, 6, -1) = (20, -10, -40)

Шаг 3: Нормализуем нормальный вектор, разделим его на длину: |N| = √(20^2 + (-10)^2 + (-40)^2) = √(400 + 100 + 1600) = √2100 ≈ 45.825 Нормальный вектор n = N / |N| ≈ (20/√2100, -10/√2100, -40/√2100) ≈ (0.578, -0.289, -1.154)

Шаг 4: Теперь, найдем D - коэффициент в уравнении плоскости, подставив координаты точки A и нормальный вектор: 0.578x - 0.289y - 1.154z + D = 0 D = -0.578*(-4) - (-0.289)(-2) - (-1.154)(-5) D = 2.312 + 0.578 + 5.77 D = 8.66

Таким образом, уравнение плоскости p, проходящей через точки A, B и C, имеет вид: 0.578x - 0.289y - 1.154z + 8.66 = 0

2. Теперь найдем канонические уравнения прямой α, проходящей через точку D и перпендикулярной плоскости p. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор будет совпадать с нормальным вектором плоскости p.

Таким образом, уравнение прямой α имеет вид: x = Dx + at, y = Dy + bt, z = Dz + ct,

где (Dx, Dy, Dz) - координаты точки D, (a, b, c) - компоненты нормального вектора к плоскости p, t - параметр.

Подставим значения: x = 9 + 0.578t, y = -2 - 0.289t, z = -10 - 1.154t.

3. Теперь найдем точки пересечения прямой α с плоскостью p, а также с координатными плоскостями xoy, xoz, yoz.

Пересечение с плоскостью p (0.578x - 0.289y - 1.154z + 8.66 = 0): Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости и решим систему уравнений:

0.578(9 + 0.578t) - 0.289(-2 - 0.289t) - 1.154(-10 - 1.154t) + 8.66 = 0

Решив данную систему уравнений, найдем значение параметра t. Подставим это значение обратно в уравнение прямой, чтобы получить точку пересечения с плоскостью p.

Пересечение с координатной плоскостью xoy (z = 0): Подставим z = 0 в уравнение прямой и решим уравнения для x и y:

x = 9 + 0.578t, y = -2 - 0.289t, z = 0.

Решив данную систему уравнений, найдем значения параметра t. Подставим это значение обратно в уравнение прямой, чтобы получить точку пересечения с плоскостью xoy.

Аналогично для координатных плоскостей xoz (y = 0) и yoz (x = 0).

4. Рассчитаем расстояние от точки D до плоскости p. Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости, (x, y, z) - координаты точки D.

Подставим значения и рассчитаем расстояние d.