Question

Ре­ши­те урав­не­ние tgП(x-6)/6=1/sqrt3 . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.ОБЪЯСНИТЕ! Должно получится 1, а почему не 7????

Answer 1

$tg \frac{ \pi (x-6)}{6} = \frac{1}{ \sqrt{3} }$
$tg( \frac{ \pi x}{6} - \frac{6 \pi }{6} )= \frac{ \sqrt{3} }{3}$
$tg( \frac{ \pi x}{6} - \pi )= \frac{ \sqrt{3} }{3}$
$\pi$  - период тангенса, следовательно получаем уравнение:
$tg \frac{ \pi x}{6} = \frac{ \sqrt{3} }{3}$
$\frac{ \pi x}{6} =arctg( \frac{ \sqrt{3} }{3} )+ \pi n$
$\frac{ \pi }{6} *x= \frac{ \pi }{6} + \pi n$
$x=1+6n$, где n - целое число.
при n=0 получаем х=1

Answer 2

Для начала, давайте решим уравнение `tg((x-6)/6) = 1/sqrt(3)` и найдем его корни.

Решение уравнения:

1. Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от тангенса. Воспользуемся тригонометрическими тождествами: `tg(theta) = sin(theta) / cos(theta)`.

`tg((x-6)/6) = 1/sqrt(3)`

Заменяем тангенс на отношение синуса и косинуса:

`sin((x-6)/6) / cos((x-6)/6) = 1/sqrt(3)`

2. Умножаем обе части уравнения на `sqrt(3)`, чтобы избавиться от знаменателя:

`sqrt(3) * sin((x-6)/6) / cos((x-6)/6) = 1`

Выражение `sqrt(3) * sin((x-6)/6) / cos((x-6)/6)` можно упростить, воспользовавшись формулой тангенса суммы:

`tg(pi/3 + (x-6)/6) = 1`

3. Тангенс угла `pi/3` равен `sqrt(3)`. Заменим `tg(pi/3)` на `sqrt(3)`:

`tg((x-6)/6 + pi/3) = 1`

4. Найдем все значения аргумента `(x-6)/6 + pi/3`, для которых тангенс равен 1. Для этого воспользуемся свойствами тригонометрической функции тангенса:

`(x-6)/6 + pi/3 = pi/4 + k*pi`

Где `k` - целое число.

5. Решим полученное уравнение относительно `x`:

`(x-6)/6 = pi/4 + k*pi - pi/3`

`(x-6)/6 = pi/4 + k*pi - 3*pi/4`

`(x-6)/6 = (1-k)*pi/4`

`x-6 = 6*(1-k)*pi/4`

`x = 6 + 6*(1-k)*pi/4`

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество корней, которые находятся в точках `x = 6 + 6*(1-k)*pi/4`.

Нахождение наименьшего положительного корня:

Теперь, чтобы найти наименьший положительный корень, нужно рассмотреть значения `k`, которые дают положительные значения для `x`.

Обратите внимание, что `k` может принимать любые целые значения, положительные и отрицательные. Однако, для построения графика и анализа корней, мы можем ограничиться значениями `k` от `-10` до `10`.

Подставим значения `k` от `-10` до `10` в формулу `x = 6 + 6*(1-k)*pi/4` и найдем соответствующие значения `x`. Затем, выберем наименьший положительный корень из полученных значений.

Полученные значения: - При `k = -10`, `x = 6 + 6*(1-(-10))*pi/4 = 6 + 6*11*pi/4 ≈ 57.30` - При `k = -9`, `x = 6 + 6*(1-(-9))*pi/4 = 6 + 6*10*pi/4 ≈ 52.36` - При `k = -8`, `x = 6 + 6*(1-(-8))*pi/4 = 6 + 6*9*pi/4 ≈ 47.42` - При `k = -7`, `x = 6 + 6*(1-(-7))*pi/4 = 6 + 6*8*pi/4 ≈ 42.49` - При `k = -6`, `x = 6 + 6*(1-(-6))*pi/4 = 6 + 6*7*pi/4 ≈ 37.55` - При `k = -5`, `x = 6 + 6*(1-(-5))*pi/4 = 6 + 6*6*pi/4 ≈ 32.62` - При `k = -4`, `x = 6 + 6*(1-(-4))*pi/4 = 6 + 6*5*pi/4 ≈ 27.68` - При `k = -3`, `x = 6 + 6*(1-(-3))*pi/4 = 6 + 6*4*pi/4 ≈ 22.75` - При `k = -2`, `x = 6 + 6*(1-(-2))*pi/4 = 6 + 6*3*pi/4 ≈ 17.81` - При `k = -1`, `x = 6 + 6*(1-(-1))*pi/4 = 6 + 6*2*pi/4 ≈ 12.88` - При `k = 0`, `x = 6 + 6*(1-0)*pi/4 = 6 + 6*1*pi/4 = 6 + 6*pi/4 ≈ 7.95` - При `k = 1`, `x = 6 + 6*(1-1)*pi/4 = 6 + 6*0*pi/4 = 6` - При `k = 2`, `x = 6 + 6*(1-2)*pi/4 = 6 + 6*(-1)*pi/4 ≈ 4.07` - При `k = 3`, `x = 6 + 6*(1-3)*pi/4 = 6 + 6*(-2)*pi/4 ≈ 1.14` - При `k = 4`, `x = 6 + 6*(1-4)*pi/4 = 6 + 6*(-3)*pi/4 ≈ -1.79` - При `k = 5`, `x = 6 + 6*(1-5)*pi/4 = 6 + 6*(-4)*pi/4 ≈ -4.71` - При `k = 6`, `x = 6 + 6*(1-6)*pi/4 = 6 + 6*(-5)*pi/4 ≈ -7.64` - При `k = 7`, `x = 6 + 6*(1-7)*pi/4 = 6 + 6*(-6)*pi/4 ≈ -10.57` - При `k = 8`, `x = 6 + 6*(1-8)*pi/4 = 6 + 6*(-7)*pi/4 ≈ -13.49` - При `k = 9`, `x = 6 + 6*(1-9)*pi/4 = 6 + 6*(-8)*pi/4 ≈ -16.42` - При `k = 10`, `x = 6 + 6*(1-10)*pi/4 = 6 + 6*(-9)*pi/4 ≈ -19.34`

Наименьший положительный корень: Из полученных значений мы видим, что наименьший положительный корень равен `x ≈ 7.95`.

Поэтому, наименьший положительный корень уравнения `tg((x-6)/6) = 1/sqrt(3)` составляет примерно `7.95`. Обратите внимание, что значение `7` не является корнем этого уравнения.