Question

Может ли число, имеющее ровно 15 делителей, делиться на 100 и на 1000?

Answer 1

Конечно, может. Если число делится на 1000, оно делится и на 100.
Число 1000 имеет 6 делителей:
1000 = 2*2*2*5*5*5 = 2^3 * 5^3
Любое число, имеющее эти делители, будет делиться и на 100, и на 1000.

Answer 2

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть условия, при которых число может делиться на 100 и на 1000.

Число, делящееся на 100, должно быть кратным 100, т.е. без остатка делиться на 100. Чтобы число имело ровно 15 делителей, оно должно быть представимо в виде произведения простых чисел в степенях, где каждая степень увеличена на 1 и перемножена между собой.

Поскольку 100 = 2^2 * 5^2, число, имеющее 15 делителей, должно быть представимо в виде произведения простых чисел в следующем виде: p^2 * q^4, где p и q - различные простые числа.

Чтобы число делилось на 1000, оно должно быть кратным 1000, т.е. без остатка делиться на 1000. Поскольку 1000 = 2^3 * 5^3, число, имеющее 15 делителей, должно быть представимо в виде произведения простых чисел в следующем виде: p^2 * q^2 * r^2, где p, q и r - различные простые числа.

Таким образом, число, имеющее ровно 15 делителей, не может делиться одновременно на 100 и на 1000, так как для этого оно должно быть представимо в виде произведения простых чисел в разных степенях.