Question

Решите однородное уравнение: 3sin2x = 2cos2x - sinxcosx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

формула    sin2x=2sinx*cosx,   sinx*cosx=1/2sin2x

3sin2x+sinx*cosx=2cos2x

  3sin2x+1/2 sin2x=2cos2x,   7/2sin2x = 2cos2x,  (умножим обе части

на 2/7 и поделим на сos2x  не= 0),  получим,  tg2x=4/7,

2x=arctg4/7 +pn,  x=1/2 arctg4/7 +pn/2,   n   E     Z

Answer 2

Для решения данного однородного уравнения, можно воспользоваться формулами тригонометрии.

Исходное уравнение: 3sin(2x) = 2cos(2x) - sin(x)cos(x)

Для начала, заменим тригонометрические функции используя формулы двойного аргумента и суммы двух углов:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1

Подставим эти значения в уравнение:

3 * 2sin(x)cos(x) = 2(2cos^2(x) - 1) - sin(x)cos(x)

Упростим:

6sin(x)cos(x) = 4cos^2(x) - 2 - sin(x)cos(x)

Теперь приведем подобные слагаемые:

6sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) = 4cos^2(x) - 2

Вынесем общий множитель:

(6 + 1)sin(x)cos(x) = 4cos^2(x) - 2

7sin(x)cos(x) = 4cos^2(x) - 2

Теперь выразим cos^2(x) через sin^2(x) с использованием тригонометрической формулы:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Подставим полученное значение в уравнение:

7sin(x)cos(x) = 4(1 - sin^2(x)) - 2

7sin(x)cos(x) = 4 - 4sin^2(x) - 2

7sin(x)cos(x) = 2 - 4sin^2(x)

Поделим обе части уравнения на 2:

3.5sin(x)cos(x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь приведем уравнение к виду, где все слагаемые содержат sin(x):

2sin^2(x) + 3.5sin(x)cos(x) - 1 = 0

Таким образом, мы получили однородное уравнение 2sin^2(x) + 3.5sin(x)cos(x) - 1 = 0. Дальнейшее решение данного уравнения можно провести, например, с помощью метода подстановки или графического метода, или рассмотрением графика функции.