Question

Сколько существует треугольников, вершинами которого являются вершины куба, и при этом не все вершины треугольника лежат на одной грани куба?

Answer 1

Никакие 3 вершины куба не лежат на одной прямой. А значит любые 3 вершины задают треугольник.

Всего вершин у куба 8, у треугольника 3. Тогда общее число треугольников равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: 8!/(3!(8-3)!)=6*7*8/(1*2*3)=7*8=56

На одной грани куба 4 вершины. Тогда на каждой грани можно построить 4!/(3!(4-3)!)=4/1=4 треугольника. Всего граней 6, тогда неподходящих треугольников 6*4=24.

Тогда искомое кол-во 56-24=32

Answer 2

Чтобы найти количество треугольников, вершинами которых являются вершины куба, и при этом не все вершины треугольника лежат на одной грани куба, мы можем использовать комбинаторику.

Количество вершин куба

Куб имеет 8 вершин.

Количество треугольников

Для каждой вершины куба, мы можем выбрать 3 другие вершины, чтобы образовать треугольник. Таким образом, для каждой вершины куба, у нас есть 3 возможных треугольника.

Учет треугольников, вершины которых лежат на одной грани куба

Если все вершины треугольника лежат на одной грани куба, то это не удовлетворяет условию задачи.

Решение

Теперь мы можем найти общее количество треугольников, вершинами которых являются вершины куба, и при этом не все вершины треугольника лежат на одной грани куба, вычитая количество треугольников, вершины которых лежат на одной грани куба, из общего количества треугольников.

Общее количество треугольников: 8 вершин * 3 треугольника/вершину = 24 треугольника.

Количество треугольников, вершины которых лежат на одной грани куба: 6 граней * 4 треугольника/грань = 24 треугольника.

Таким образом, количество треугольников, вершинами которых являются вершины куба, и при этом не все вершины треугольника лежат на одной грани куба, равно 24 - 24 = 0 треугольников.