Question

Доказать с помощью мат.индукции, что уравнение: (3^(2n+2)+5*2^(3n+1))делится без остатка на 19Помогите пожалуйста

Answer 1

1) Базис индукции: подставляем n = 1

$3^{2\cdot 1+2}+5\cdot 2^{3\cdot 1+1}=161$ - не делится на 19.

Значит, данное выражение не будет делится на 19

Answer 2

Конечно, давайте решим эту задачу с помощью математической индукции.

Чтобы доказать, что \(3^{2n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}\) делится на 19 без остатка, мы сначала проверим базовый случай, а затем докажем, что если утверждение верно для \(n=k\), то оно будет верно и для \(n=k+1\).

1. Базовый случай: Для \(n=0\) у нас есть: \[3^{2(0)+2} + 5 \cdot 2^{3(0)+1} = 3^{2} + 5 \cdot 2 = 9 + 10 = 19.\] Заметим, что \(19\) делится на \(19\) без остатка.

2. Предположение индукции: Пусть для некоторого целого положительного числа \(k\) выполняется: \[3^{2k+2} + 5 \cdot 2^{3k+1} = 19m,\] где \(m\) - целое число.

3. Доказательство для \(n=k+1\): Мы знаем, что \[3^{2(k+1)+2} + 5 \cdot 2^{3(k+1)+1} = 3^{2k+4} + 5 \cdot 2^{3k+4}.\] Мы можем переписать это уравнение следующим образом: \[3^{2k+4} + 5 \cdot 2^{3k+4} = 9\cdot 3^{2k+2} + 8\cdot 5\cdot 2^{3k+1}.\] Мы можем вынести \(9\) из первого слагаемого и \(8\) из второго: \[9\cdot 3^{2k+2} + 8\cdot 5\cdot 2^{3k+1} = 9\cdot(3^{2k+2} + 5\cdot 2^{3k+1}) + 8\cdot 5\cdot 2^{3k+1}.\] Используя предположение индукции, мы можем заменить \(3^{2k+2} + 5\cdot 2^{3k+1}\) на \(19m\): \[9\cdot(3^{2k+2} + 5\cdot 2^{3k+1}) + 8\cdot 5\cdot 2^{3k+1} = 9\cdot(19m) + 8\cdot 5\cdot 2^{3k+1}.\] Мы можем выразить это как: \[9\cdot(19m) + 8\cdot 5\cdot 2^{3k+1} = 171m + 40\cdot 2^{3k+1}.\]

Теперь нам нужно убедиться, что \(171m + 40\cdot 2^{3k+1}\) делится на \(19\). Мы видим, что \(171\) делится на \(19\). Также, заметим, что \(2^3 = 8\) также делится на \(19\). Следовательно, \(40\cdot 2^{3k+1}\) также делится на \(19\). Следовательно, \(171m + 40\cdot 2^{3k+1}\) делится на \(19\).

Таким образом, утверждение верно для \(n=k+1\).

По индукции мы доказали, что уравнение \(3^{2n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}\) делится на \(19\) без остатка для всех целых неотрицательных \(n\).