Question

Найти асимптоты графика функции y=(21-x²)/(7x+9). Я знаю, что уравнение асимптоты – y=kx+b, где k=lim[x→∞](f(x)/x), b=lim[x→∞](f(x)-kx). У меня получилось, что b=∞, получается, что наклонной асимптоты не существует, но y=(21-x²)/(7x+9) – это гипербола, разве у неё может не быть наклонной асимптоты?

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Вертикальная асимптота: х = - 9/7 - ответ

Находим значение k для наклонной асимптоты

k = lim(+oo) (21-x²)/(7x²+9x)  =  - 1/7. (разделили на х²). Находим сдвиг b.

$b= \lim_{n \to \infty} \frac{21-x^2}{7x+9}+\frac{x}{7}=\frac{189+9x}{49*x+63}=\frac{9}{49}$

Наклонная асимптота: Y = x/7 + 9/49 - ответ

Всё прекрасно получилось.

График функции в приложении - подарок.

Answer 2

Для нахождения асимптот графика функции y=(21-x²)/(7x+9), мы можем использовать определение асимптот, которое вы предоставили.

1. Найдем наклонную асимптоту: Сначала найдем значение k, используя предел lim[x→∞](f(x)/x), где f(x) = (21-x²)/(7x+9):

lim[x→∞](f(x)/x) = lim[x→∞]((21-x²)/(7x+9))/x

Для нахождения этого предела, давайте разделим числитель и знаменатель на x:

lim[x→∞](21/x - x²/x(7x+9)) = lim[x→∞](21/x - x/(7x+9))

Теперь используем правило Лопиталя, так как предел вида "бесконечность/бесконечность":

lim[x→∞](21/x - x/(7x+9)) = lim[x→∞](0 - 1/(7+9/x))

Теперь подставим бесконечность вместо x:

lim[x→∞](0 - 1/(7+0)) = -1/7

Таким образом, k = -1/7.

2. Теперь найдем b, используя предел lim[x→∞](f(x)-kx):

lim[x→∞]((21-x²)/(7x+9) + (1/7)x)

Разделим числитель и знаменатель на x:

lim[x→∞](21/x - x²/x(7x+9) + (1/7))

Используем правило Лопиталя для части с пределом:

lim[x→∞](0 - 1/(7+9/x) + (1/7))

Теперь подставим бесконечность вместо x:

lim[x→∞](0 - 1/(7+0) + (1/7)) = 0 - 1/7 + 1/7 = 0

Таким образом, b = 0.

Итак, у нашей функции y=(21-x²)/(7x+9) есть наклонная асимптота с уравнением y = (-1/7)x + 0, или просто y = (-1/7)x.

График функции y=(21-x²)/(7x+9) будет приближаться к этой наклонной асимптоте при стремлении x к бесконечности.