Question

Исследовать функцию и построить ее график y=2X3-3X2-12x-1 (После икса это степень)

Answer 1

ДАНО:Y = 2*x³ - 3*x² - 12*x - 1 - функция

ИССЛЕДОВАТЬ.

1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.  

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х₁ = - 1,76, Х₂ = - 0,09, Х₃ = 3,34

Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -1.  

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞  

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ -Y(x),

Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= 6*x² -6*Х - 12 = 6*(x-2)(x+1).  

Корни при Х₁=  2, Х₂ = -1  Схема знаков производной.

(-∞)__(>0)__(-1)___(<0)___(2)__(>0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(-1)= 6 , минимум – Ymin(2) = - 21.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает - Х∈[-∞; -1]∪[2;+∞), убывает = Х∈(-1; 2).  

8. Вторая производная - Y"(x) = 12*x - 6=0.  

Корень производной - точка перегиба Y"(x)= 0.5.  

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 0.5), Вогнутая – «ложка» Х∈(0.5; +∞).  

10. График в приложении.

Answer 2

y=2X3-3X2-12x-1=112

Answer 3

Для исследования функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1 сначала найдем ее производные.

Первая производная: y' = 6x^2 - 6x - 12

Вторая производная: y'' = 12x - 6

Теперь рассмотрим основные характеристики функции:

1. Область определения: Функция определена для всех значений x, т.е. ее область определения - это множество всех действительных чисел.

2. Нули функции: Для нахождения нулей функции приравняем ее к нулю и решим уравнение: 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1 = 0 Нули функции можно найти численными методами или графически.

3. Знаки производных: Анализируя знаки производных, можно определить интервалы возрастания и убывания функции, а также экстремумы.

a) Анализ первой производной: y' = 6x^2 - 6x - 12 Для нахождения интервалов возрастания и убывания решим неравенство: 6x^2 - 6x - 12 > 0 Получим интервалы возрастания: (-∞, a) ∪ (b, +∞) Интервалы убывания: (a, b) Определим значения a и b, решив уравнение: 6x^2 - 6x - 12 = 0 Получим a ≈ -1.82 и b ≈ 2.82

b) Анализ второй производной: y'' = 12x - 6 Знак второй производной позволяет определить выпуклость и вогнутость функции. Если y'' > 0, то функция выпукла вверх. Если y'' < 0, то функция вогнута вниз.

4. Точки экстремума: Точки экстремума можно найти, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение: 6x^2 - 6x - 12 = 0 Найденные значения x будут координатами точек экстремума.

5. Непрерывность и разрывы: Функция является непрерывной на всей своей области определения.

6. Асимптоты: Построим график функции и определим асимптоты.

Теперь построим график функции:

(Вставить график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1)