Question

Исследовать функцию z=2x-70y+x^2+2xy+7y^2+4y^3 на локальный экстремум

Answer 1

Получилось , что функция содержит две стационарный точки. Одна из которых является седлом, а вторая локальным максимумом.

Answer 2

Для исследования функции на локальный экстремум нужно найти ее частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю. Затем нужно найти значение вторых частных производных и с помощью них определить тип экстремума (максимум, минимум или точка перегиба). Итак, найдем частные производные функции z по переменным x и y: dz/dx = 2 + 2x + 2y dz/dy = -70 + 2x + 14y + 12y^2

Приравниваем эти производные к нулю и решаем систему уравнений: 2 + 2x + 2y = 0 -70 + 2x + 14y + 12y^2 = 0

Первое уравнение можно преобразовать: 2x = -2 - 2y x = -1 - y

Подставляем это значение x во второе уравнение: -70 + 2(-1 - y) + 14y + 12y^2 = 0 -70 - 2y + 14y + 12y^2 = 0 12y^2 + 12y - 70 = 0 y^2 + y - 5.8333 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения y: y1 ≈ 0.971 и y2 ≈ -6.305

Подставим эти значения y обратно в первое уравнение для нахождения соответствующих x: Для y1 ≈ 0.971: x1 = -1 - y1 ≈ -1 - 0.971 ≈ -1.971 Для y2 ≈ -6.305: x2 = -1 - y2 ≈ -1 - (-6.305) ≈ 5.305

Таким образом, получаем две точки, в которых частные производные равны нулю: P1 (-1.971, 0.971) и P2 (5.305, -6.305).

Теперь найдем значение вторых частных производных в этих точках: d²z/dx² = 2 d²z/dy² = 14 + 24y d²z/dxdy = 2

Для точки P1 (-1.971, 0.971): d²z/dx² (P1) = 2 > 0 (положительное), следовательно, это точка минимума. d²z/dy² (P1) = 14 + 24(0.971) = 38.904 > 0 (положительное), следовательно, это точка минимума.

Для точки P2 (5.305, -6.305): d²z/dx² (P2) = 2 > 0 (положительное), следовательно, это точка минимума. d²z/dy² (P2) = 14 + 24(-6.305) ≈ -137.512 < 0 (отрицательное), следовательно, это точка максимума.

Таким образом, функция z = 2x - 70y + x² + 2xy + 7y² + 4y³ имеет локальный минимум в точке (-1.971, 0.971) и локальный максимум в точке (5.305, -6.305).