Question

Решите уравнение: 3sin^2x-13sinxcosx+4cos^2x=0

Answer 1

Разделим на cos²x
3tg²x-13tgx+4=0
tgx=a
3a²-13a+4=0
D=169-48=121
a1=(13-11)/6=1/3⇒tgx=1/3⇒x=arctg1/3+πn,n∈z
a2=(13+11)/6=4⇒tgx=4⇒x=arctg4+πk,k∈z

Answer 2

Давайте решим уравнение 3sin^2(x) - 13sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = 0.

Сначала заметим, что это уравнение может быть переписано в виде:

3sin^2(x) - 13sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = (sin(x) - 4cos(x))(3sin(x) - cos(x)) = 0.

Теперь у нас есть два множителя, которые могут быть равны нулю независимо друг от друга:

1. sin(x) - 4cos(x) = 0 2. 3sin(x) - cos(x) = 0

Давайте начнем с первого уравнения:

1. sin(x) - 4cos(x) = 0

Мы можем разделить это уравнение на cos(x), так как оно не может быть равным нулю:

(sin(x) / cos(x)) - 4 = 0.

Теперь используем тригонометрическую тождественность tan(x) = sin(x) / cos(x):

tan(x) - 4 = 0.

Теперь добавим 4 к обеим сторонам:

tan(x) = 4.

Теперь найдем значения угла, для которых тангенс равен 4. Обратите внимание, что это уравнение имеет множество решений, потому что тангенс периодичен с периодом π. Однако, мы можем найти одно из таких решений:

x = arctan(4).

Теперь перейдем ко второму уравнению:

3sin(x) - cos(x) = 0.

Сначала выразим sin(x) через cos(x):

sin(x) = (1/3)cos(x).

Теперь подставим это значение sin(x) в уравнение:

3(1/3)cos(x) - cos(x) = 0.

cos(x) - cos(x) = 0.

Это уравнение не дает нам новых решений, так как оно тождественно равно нулю.

Итак, у нас есть два решения:

1. x = arctan(4) 2. Второе уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение 3sin^2(x) - 13sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = 0 имеет одно решение: x = arctan(4).