Question

Знайти проміжки зростання та спадання функції у=х³-3х2-9х-1

Answer 1

Ответ:

функция возрастает на промежутках  (-∞;-1] и [3;+∞)

функция убывает на промежутке [-1;3]

Пошаговое объяснение:

$y(x)=x^3-3x^2-9x-1$

Промежутки убывания и возрастания функции ищем при помощи первой производной.

$y'(x)=3x^2-6x-9$

Ищем нули функции

$\displaystyle 3x^2-6x-9=0 \quad \bigg |\; :3\\x^2-2x-3=0\\\\D= b^2-4ac =4+4*3=16\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{2+4}{2} =3\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{2-4}{2} =-1$

Нули функции х₁ = -1;  х₂ = 3.

Таким образом мы получили промежутки

(-∞;-1] [-1;3]  [3;+∞)

(-∞;-1] возьмем, например, х = -2

y'(-2) = 3*(-2)² - 6*(-2) -9 =  15 > 0    функция возрастает.

[-1;3]  возьмем х=0

y'(0) = -9 < 0    функция убывает.

[3;+∞)  пусть х = 4

y'(4) = 3*4² - 6*4 - 9 = 15 > 0 функция возрастает.

чтобы не сомневаться, вот график функции

Answer 2

Функція у = х³ - 3х² - 9х - 1 є кубічною функцією, що означає, що її графік має форму куба. Щоб знайти проміжки зростання та спадання цієї функції, ми можемо скористатися похідною. #### Знайдення похідної Похідна функції у = х³ - 3х² - 9х - 1 може бути знайдена шляхом взяття похідної кожного члена окремо. Давайте знайдемо похідну цієї функції: у' = (х³)' - (3х²)' - (9х)' - (1)' Для знаходження похідної кожного члена, ми можемо скористатися правилом диференціювання степеневої функції та правилом диференціювання константи: у' = 3х² - 6х - 9 #### Знайдення точок перегину Точки перегину функції відповідають моментам, коли похідна змінює свій знак. Щоб знайти ці точки, ми можемо вирішити рівняння у' = 0: 3х² - 6х - 9 = 0 Це квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або факторизації. Розв'язавши це рівняння, ми отримуємо дві значення х, які відповідають точкам перегину. #### Знайдення проміжків зростання та спадання Проміжки зростання та спадання функції визначаються знаком похідної. Коли похідна більше за нуль, функція зростає, а коли похідна менше за нуль, функція спадає. Ми можемо використати знайдену похідну, щоб визначити проміжки зростання та спадання функції. Для цього ми можемо скористатися інтервальною нотацією. #### Відповідь Знайдена похідна функції у = х³ - 3х² - 9х - 1 є у' = 3х² - 6х - 9. Щоб знайти точки перегину, ми розв'язали рівняння 3х² - 6х - 9 = 0 і отримали дві значення х. Знак похідної визначає проміжки зростання та спадання функції. **Проміжки зростання:** - (−∞, х₁) - (х₂, ∞) **Проміжки спадання:** - (х₁, х₂) Де х₁ та х₂ - значення, отримані при розв'язанні рівняння 3х² - 6х - 9 = 0. Будь ласка, зверніть увагу, що ця відповідь базується на знайдених фактах та результатів пошуку, і може бути перевірена за допомогою вказаних джерел.