Question

Булат написал "2019" десять раз подряд: 20192019..... 20192019. Какие две цифры ему следует дописать, чтобы полученное число делилось на 45? ​

Answer 1

Чтобы число делилось на 45, оно должно делиться на 9 и на 5. Т.е. последняя цифра либо 5, либо 0, а сумма цифр должна делиться на 9.

$S(\overline{2019...2019ab})=10*(2+0+1+9)+a+b=10*12+a+b=9*13+3+a+b$

Значит $(3+a+b)\vdots 9$

Т.к. a,b - цифры, то

$3\leq 3+a+b\leq 21\\ 3+a+b=9=>a+b=6:\\ b=0=>a=6;\;b=5=>a=1\\ 3+a+b=18=>a+b=15=>a,b\in\o$

Ответ: 6 и 0 или 1 и 5

Answer 2

Чтобы определить какие две цифры нужно дописать в число "20192019", чтобы оно делилось на 45, мы должны понять, какие свойства должно иметь число, чтобы оно делилось на 45. Чтобы число делилось на 45, оно должно быть кратным и 9 и 5. Для этого сумма всех его цифр также должна быть кратной 9, и его последняя цифра должна быть 0 или 5. Рассмотрим сумму всех цифр числа "20192019": 2 + 0 + 1 + 9 + 2 + 0 + 1 + 9 = 33. Чтобы полученное число делилось на 45, нам необходимо добавить две цифры так, чтобы сумма всех цифр стала кратной 9. Поскольку уже имеем сумму 33, нам необходимо добавить две цифры, чтобы сумма стала кратной 9. Наименьшее возможное значение для двух дописываемых цифр будет 6 и 3, которые в сумме дают 9. Таким образом, ответ на задачу - "2019201963".