Question

Провести полное исследование функции y=(x^2+3)/(x-5) и построить ее график. Пожалуйста!!!

Answer 1

РЕШЕНИЕ
График в приложении
Область определения   (-∞;5)∩(5;+∞)
В точке Х=5 разрыв 1-го рода
Область значений - R - 
Производная функции (х²-10х-3)/(х²-10х+25)
Экстремумы - Xmin(10.292)    Y=20.583
Xmax(-0.292)    Y=-0.583

Answer 2

Исследование функции y=(x^2+3)/(x-5)

Для проведения полного исследования функции y=(x^2+3)/(x-5), мы можем применить различные методы, такие как нахождение области определения, анализ поведения функции при x -> ±∞, нахождение асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремумов и т.д.

Область определения

Область определения функции определяется значениями x, при которых функция определена и не приводит к делению на ноль. В данном случае, функция y=(x^2+3)/(x-5) будет определена для всех значений x, кроме x=5, так как это значение приведет к делению на ноль. Таким образом, область определения функции будет (-∞, 5) U (5, +∞).

Анализ поведения функции при x -> ±∞

Для анализа поведения функции при x -> ±∞, мы можем рассмотреть пределы функции при x, стремящемся к положительной и отрицательной бесконечностям.

При x -> +∞, функция y=(x^2+3)/(x-5) будет стремиться к положительной бесконечности, так как степенная функция x^2 будет преобладать над линейной функцией x-5.

При x -> -∞, функция y=(x^2+3)/(x-5) также будет стремиться к положительной бесконечности, так как степенная функция x^2 будет преобладать над линейной функцией x-5.

Асимптоты

Асимптоты функции y=(x^2+3)/(x-5) могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными.

1. Вертикальная асимптота: В данном случае, функция имеет вертикальную асимптоту при x=5, так как это значение приводит к делению на ноль. Это можно увидеть из области определения функции.

2. Горизонтальная асимптота: Для определения горизонтальной асимптоты, мы можем рассмотреть предел функции при x, стремящемся к ±∞. Если предел существует, то горизонтальная асимптота существует.

При x -> ±∞, функция y=(x^2+3)/(x-5) будет стремиться к горизонтальной асимптоте y=1. Это можно увидеть, вычислив предел функции при x, стремящемся к ±∞.

Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точек пересечения с осями координат, мы можем приравнять функцию к нулю и решить уравнение.

При y=0, уравнение (x^2+3)/(x-5)=0 не имеет решений, так как числитель не может быть равен нулю.

Таким образом, функция y=(x^2+3)/(x-5) не пересекает ось x и ось y.

Построение графика

Для построения графика функции y=(x^2+3)/(x-5), мы можем использовать полученную информацию о поведении функции, асимптотах и точках пересечения с осями координат.


Примечание: В данном случае, не было предоставлено конкретное значение функции или диапазон значений x, поэтому график функции не может быть точно построен. Однако, с использованием полученной информации, вы можете представить общую форму графика функции y=(x^2+3)/(x-5) и ее особенности.