Question

Lim(x->o)(ctg^2x*ln(6-5/cos(x)Решить предел не используя правило Лопиталя ​

Answer 1

$\lim_{x \to 0} ctg^2x*ln(6-\dfrac{5}{cos(x)})= \lim_{x \to 0} \dfrac{ln(1+5-\dfrac{5}{cos(x)})}{tg^2x}= 5\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\dfrac{1}{cos(x)}}{x^2}= 5\lim_{x \to 0} \dfrac{cos(x)-1}{x^2*cos(x)}= 5\lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{-x^2}{2}}{x^2}=-\dfrac{5}{2}$

Answer 2

Для решения предела lim(x->0) (ctg^2x * ln(6-5/cos(x)) без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться алгебраическими преобразованиями и известными пределами функций. #### Шаг 1: Преобразование выражения Давайте преобразуем выражение, чтобы упростить его перед вычислением предела. Используем следующие тождества: 1. ctg^2x = 1 / tan^2x 2. ln(6-5/cos(x)) = ln((6cos(x)-5)/cos(x)) Теперь наше выражение выглядит следующим образом: lim(x->0) (1/tan^2x * ln((6cos(x)-5)/cos(x))) #### Шаг 2: Разложение в ряд Тейлора Для вычисления предела, мы можем использовать разложение в ряд Тейлора для функций tan(x) и ln(1+x) в окрестности x=0. 1. Разложение для tan(x): tan(x) = x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + O(x^7) 2. Разложение для ln(1+x): ln(1+x) = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4 + O(x^5) #### Шаг 3: Подстановка разложений Теперь мы можем подставить разложения в наше исходное выражение и упростить его: lim(x->0) (1/(x^2 + (1/3)x^4 + O(x^6))) * ln((6cos(x)-5)/cos(x)) #### Шаг 4: Упрощение предела Теперь мы можем упростить предел, учитывая, что все слагаемые с более высокими степенями x обращаются в ноль при x->0: lim(x->0) (1/x^2) * ln((6cos(x)-5)/cos(x)) #### Шаг 5: Вычисление предела Теперь мы можем вычислить предел, подставив x=0 в выражение: lim(x->0) (1/0^2) * ln((6cos(0)-5)/cos(0)) = lim(x->0) (1/0) * ln((6-5)/1) = ∞ * ln(1) = ∞ * 0 = 0 Таким образом, предел lim(x->0) (ctg^2x * ln(6-5/cos(x)) равен 0. **Обратите внимание:** При решении данного предела мы использовали разложение в ряд Тейлора и алгебраические преобразования. Правило Лопиталя не было использовано.