Question

70 баллов!!! Найдите точку максимума функции y=(x−4)^2​(x+5)+8

Answer 1

Ответ:y=168

Пошаговое объяснение:1)y=(x−4)^2​(x+5)+8;

2)y=(0−4)^2​(0+5)+8

3)y=168

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции \(y = (x - 4)^2(x + 5) + 8\), нам нужно найти производную этой функции и найти значения \(x\), при которых производная равна нулю. Эти значения \(x\) будут точками экстремума (максимума или минимума), а затем мы проверим, является ли это максимумом или минимумом. 1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\): \[y'(x) = 2(x - 4)(x + 5) + (x - 4)^2\] 2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[2(x - 4)(x + 5) + (x - 4)^2 = 0\] Давайте упростим это уравнение: \[2(x - 4)(x + 5) + (x - 4)^2 = 0\] Раскроем квадрат во втором слагаемом: \[2(x - 4)(x + 5) + (x^2 - 8x + 16) = 0\] Теперь объединим все слагаемые и приведем подобные: \[2x^2 - 8x + 10x - 40 + x^2 - 8x + 16 = 0\] \[3x^2 - 6x - 24 = 0\] 3. Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем поделить обе стороны на 3, чтобы упростить его: \[x^2 - 2x - 8 = 0\] 4. Решим это уравнение, используя квадратное уравнение: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Где \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -8\). Подставим значения: \[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}\] \[x = \frac{2 \pm 6}{2}\] Теперь найдем два значения \(x\): 1. \(x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\) 2. \(x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\) Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -2\). 5. Для определения, являются ли эти точки максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную тест. Найдем вторую производную функции \(y\): \[y''(x) = 2 + 2(x - 4)\] Теперь вычислим \(y''(4)\) и \(y''(-2)\): \[y''(4) = 2 + 2(4 - 4) = 2\] \[y''(-2) = 2 + 2(-2 - 4) = 2 - 12 = -10\] 6. Применим вторую производную тест: - Если \(y''(4) > 0\), то это точка минимума. - Если \(y''(-2) < 0\), то это точка максимума. Исходя из результатов, точка \(x = 4\) является точкой минимума, а точка \(x = -2\) является точкой максимума. Таким образом, точка максимума функции \(y = (x - 4)^2(x + 5) + 8\) находится при \(x = -2\). Чтобы найти соответствующее значение \(y\), подставим \(x = -2\) в исходное уравнение: \[y = (-2 - 4)^2(-2 + 5) + 8\] \[y = (-6)^2(3) + 8\] \[y = 36 * 3 + 8\] \[y = 108 + 8\] \[y = 116\] Таким образом, точка максимума функции находится в точке \((-2, 116)\).