Question

Тема: "Модуль" 123. Определите значение постоянной b так, чтобы точка (-2; b) находилась на одной прямой с точками С (1; b²) и (4; 3).​

Answer 1

График прямой задается формулой $y = kx + l$, где $k$ и $l$ — некоторые коэффициенты, $x$ — независимая переменная, которая называется линейной функцией.

Имеем три точки: $(-2; \ b), \ (1; \ b^{2}); \ (4; \ 3)$, где $b$ — параметр, который нужно найти.

Подставляя соответствующие координаты в функцию, получаем систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\left\{\begin{matrix}b = -2k + l \\ b^{2} = k + l \ \ \\ 3 = 4k + l \ \ \end{matrix}\right.$

Из третьего уравнения: $l = 3 - 4k$. Подставим $l = 3 - 4k$ в первое и во второе уравнение:

$\displaystyle \left \{ {{b = -2k + 3 - 4k} \atop {b^{2} = k + 3 - 4k \ \ }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{b = 3 - 6k \ } \atop {b^{2} = 3 - 3k }} \right.$

Выразим из второго уравнения $k$:

$-3k = b^{2} - 3$

$k = -\dfrac{b^{2} - 3}{3}$

Подставим $k = -\dfrac{b^{2} - 3}{3}$ в первое уравнение:

$b = 3 - 6 \cdot \left( -\dfrac{b^{2} - 3}{3} \right)$

$b = 3 + 2(b^{2} - 3)$

$b = 3 + 2b^{2} - 6$

$2b^{2} - b - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$b_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 \pm 5}{4}$

Таким образом, имеем: $b_{1} = -1; \ b_{2} = 1,5$

Ответ: $b_{1} = -1; \ b_{2} = 1,5$

Answer 2

Чтобы точка (-2; b) находилась на одной прямой с точками С (1; b²) и (4; 3), координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой, проходящей через эти две точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно записать в виде:
(y - y₁) / (x - x₁) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Подставляя значения точек С (1; b²) и (4; 3), получим:
(y - b²) / (x - 1) = (3 - b²) / (4 - 1)

Для точки (-2; b) получаем:
(b - b²) / (-2 - 1) = (3 - b²) / (4 - 1)

Упростим уравнение:
(b - b²) / -3 = (3 - b²) / 3

Воспользуемся свойством модуля, который определен как |x| = x, если x ≥ 0 и |x| = -x, если x < 0.

Так как значение модуля не может быть отрицательным, то можем заметить, что уравнение примет вид:
(b - b²) / -3 = (b² - 3) / 3

Умножим обе части уравнения на -3, чтобы избавиться от знаков деления:
b² - b = -b² + 3

Приведем подобные члены:
2b² - b - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или факторизации. Но так как трехчлен не может быть легко факторизован, воспользуемся квадратным трехчленом:

D = b² - 4ac = 1 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25

Таким образом, уравнение имеет два корня:
b₁ = (-(-1) + √25) / (2(2)) = (1 + 5) / 4 = 6 / 4 = 3 / 2
b₂ = (-(-1) - √25) / (2(2)) = (1 - 5) / 4 = -4 / 4 = -1

Итак, чтобы точка (-2; b) находилась на одной прямой с точками С (1; b²) и (4; 3), значение постоянной b может быть равно 3/2 или -1.

Answer 3

Для того чтобы точка (-2; b) находилась на одной прямой с точками С (1; b²) и (4; 3), необходимо, чтобы все эти три точки лежали на одной прямой.

Прямая проходящая через точки (1; b²) и (4; 3) может быть задана уравнением вида y = mx + c, где m - коэффициент наклона прямой, а c - коэффициент сдвига.

Для нахождения m заменим координаты двух известных точек в уравнение и найдем значение м:

b² = m(1) + c (1)
3 = m(4) + c (2)

Выразим c из уравнения (1):

c = b² - m (3)

Подставим выражение для c в уравнение (2):

3 = m(4) + b² - m (4)

Упростим уравнение (4):

3 = 4m + b² - m
3 = 3m + b²

Теперь выразим m через b:

3m = 3 - b²
m = (3 - b²) / 3 (5)

Далее, для того чтобы точка (-2; b) лежала на той же прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим координаты точки (-2; b) в уравнение прямой y = mx + c:

b = m(-2) + c

Подставим выражения для m и c, полученные выше:

b = (3 - b²) / 3 * (-2) + (b² - (3 - b²) / 3)

Раскроем скобки:

b = (-6 + 2b²) / 3 + (3b² - (3 - b²)) / 3
b = (-6 + 2b² + 3b² - 3 + b²) / 3
b = (6b² - 9) / 3
b = 2b² - 3

Чтобы найти значение b, решим полученное уравнение:

2b² - 3 - b = 0

Приведем уравнение к стандартному виду:

2b² - b - 3 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем значение b. Для этого можно использовать, например, формулу дискриминанта или другие методы решения квадратных уравнений.

Таким образом, значение постоянной b будет зависеть от решения уравнения 2b² - b - 3 = 0.