Question

При каком значении b уравнение | | x | - 5 | - b = 0 имеет ровно три корня?

Answer 1

||х|-5|-b=0
|х|-5-b=0
|x|=5+b

Answer 2

Дано уравнение | | x | - 5 | - b = 0.

Для решения этого уравнения нужно рассмотреть возможные варианты значений b.

1) Пусть b > 0. Тогда выражение | | x | - 5 | - b ≥ 0, так как модуль всегда неотрицателен. То есть, для любого x, которое удовлетворяет условию, значение выражения будет больше нуля. Таким образом, уравнение не имеет корней.

2) Пусть b = 0. Уравнение примет вид | | x | - 5 | = 0. Выражение | x | - 5 = 0 имеет ровно одно решение x = 5, так как модуль всегда неотрицателен. Заменяя x на 5 в исходном уравнении, получим | 0 - 5 | - 0 = 0, то есть это решение подходит. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.

3) Пусть b < 0. Пусть a = | x | - 5. Тогда уравнение примет вид | a - b | = 0. Так как модуль равен нулю только когда аргумент равен нулю, получаем a - b = 0 => a = b. Рассмотрим возможные значения a.

а) Если a > 0, то уравнение не имеет корней, так как модуль всегда неотрицателен.

b) Если a = 0, то уравнение имеет один корень, так как модуль равен нулю только при a = b = 0.

в) Если a < 0, то уравнение не имеет корней, так как модуль всегда неотрицателен.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень только при b = 0.

Итак, уравнение | | x | - 5 | - b = 0 имеет ровно три корня только при b = 0.