Question

2.4. Дослідіть ряд на збіжність, використовуючи ознаку Даламбера: sum n = 1 to ∞ (4 ^ n)/n​

Answer 1

Ответ:

Ряд расходится

Пошаговое объяснение:

Изначальный ряд:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}$

По признаку Даламбера:

$K=\lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n+1}}{a_{n}})$

Если K>1, то ряд расходится
Если K<1, то ряд сходится
Если K=1, то это ничего не даёт

При этом, $a_{n}=\frac{4^n}{n}$, а $a_{n+1}=\frac{4^{n+1}}{n+1}$

Находим предел:

$K= \lim_{n\to\infty}(\frac{4^{n+1}}{n+1}/\frac{4^n}{n})=\lim_{n\to\infty}(\frac{4*4^{n}}{n+1}*\frac{n}{4^n})= \lim_{n\to\infty}(\frac{4n}{n+1})=[\frac{\infty}{\infty}]$

Так как получилась неопределённость рода [∞/∞], то пользуемся правилом Лопиталя:

$\lim_{x\to\infty}(\frac{f(x)}{g(x)})= \lim_{x\to\infty}(\frac{f'(x)}{g'(x)})$

Отсюда,

$K=\lim_{n\to\infty}(\frac{4n}{n+1})=\lim_{n\to\infty}(\frac{4}{1})=4 > 1$

Оказалось, что K>1, что значит, что ряд расходится

Answer 2

Розглянемо ряд:

∑ (4^n/n)

За ознакою Даламбера, нехай рівняння D = lim (a_(n+1)/a_n) буде задоволеною, де a_n = 4^n/n.

D = lim (4^(n+1)/(n+1)) / (4^n/n)
= lim [(4^(n+1))/(n+1)] * (n/4^n)
= lim (4 * (4/4)^n/(n+1))
= 4 * lim ((1/4)^n/(n+1))

Оцінимо значення D:

D = 4 * lim ((1/4)^n/(n+1))

Ми можемо помітити, що при зростанні n, експонента 1/4^n промальовує найбільш значущу роль, оскільки вона швидше збігається до 0 порівняно з n/(n+1). Отже, можемо знехтувати n/(n+1) і просто оцінювати (1/4)^n.

(1/4)^n збігається до 0 при n -> ∞. Це справедливо для будь-якого значення D > 0.

Отже, ми маємо:

D = 4 * lim ((1/4)^n/(n+1)) = 4 * 0 = 0

Оскільки значення D = 0, це означає, що ряд ∑ (4^n/n) збігається, використовуючи ознаку Даламбера.

Отож, ряд ∑ (4^n/n) є збіжним.