Question

Монету подбрасывают до первого выпадения "орла", но не более 4 раз. Случайная величина-число опытов. Найти закон распределения

Answer 1

Случайная величина $\xi$ принимает значения от 1 до 4. Вероятность того, что "орел" выпадет с первого раза равна

$P\{\xi =1\}=p=\dfrac{1}{2}$

Вероятность того, что "орел" выпадет со второго раза, равна

$P\{\xi =2\}=p(1-p)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$

Вероятность того, что "орел" выпадет с третьего раза, равна

$P\{\xi =3\}=p(1-p)^2=\dfrac{1}{2}\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{8}$

Вероятность того, что "орел" выпадет четвертого раза, равна

$P\{\xi=4\}=1-P\{\xi$

Закон распределения случайной величины $\xi :$

$\boxed{\xi_i}\,\,\boxed{1}\boxed{2}\,\boxed{3}\,\,\boxed{4}\\ \boxed{p_i}\boxed{\frac{1}{2}}\boxed{\dfrac{1}{4}}\boxed{\dfrac{1}{8}}\boxed{\dfrac{1}{8}}$

Answer 2

Закон распределения для случайной величины "число опытов", т.е. количество подбрасываний монеты до первого выпадения "орла", может быть найден с использованием геометрического распределения.

В геометрическом распределении вероятность успеха (выпадения "орла") на каждом опыте остается постоянной и равна p, а вероятность неудачи (выпадения "решки") равна q = 1 - p.

Для данной задачи вероятность успеха p = 1/2, так как вероятности выпадения "орла" и "решки" в экспериментах с симметричной монетой равны.

Теперь можем расчитать закон распределения для случайной величины "число опытов":

P(X = k) = q^(k-1) * p,

где X - случайная величина "число опытов", k - количество опытов.

В данном случае, так как монету подбрасывают не более 4 раз, возможные значения для случайной величины X будут от 1 до 4.

Используя формулу, можно найти значения вероятностей для каждого из возможных значений X:

P(X = 1) = q^(1-1) * p = q^0 * p = p = 1/2,

P(X = 2) = q^(2-1) * p = q * p = 1/2 * 1/2 = 1/4,

P(X = 3) = q^(3-1) * p = q^2 * p = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8,

P(X = 4) = q^(4-1) * p = q^3 * p = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/16.

Таким образом, закон распределения для случайной величины "число опытов" будет следующим:

X | P(X)
---------
1 | 1/2
2 | 1/4
3 | 1/8
4 | 1/16