Question

Розв'язати рівняння: x⁴-8x²-9=0​

Answer 1

$x^4-8x^2-9=0;x^2=a\Rightarrow a\in [0;+\infty)\\a^2-8a-9=0|:2\\\frac{1}{2}a^2-4a-\frac{9}{2}=0;D=16+9=5^2\\\begin{matrix}\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}a=4-5\\a=4+5\end{matrix}\\a\in [0;+\infty)\end{matrix}&\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}a=-1\\a=9\end{matrix}\\a\in [0;+\infty)\end{matrix}\end{matrix}\\a=9;x^2=9\Rightarrow x=\pm 3\\Otvet:x=\pm 3.$

Answer 2

$x {}^{4} - 8x {}^{2} - 9 = 0$

Осуществим подстановку

$a = x {}^{2} \\ a {}^{2} - 8a - 9 = 0 \\ a _{1} + a _{2} = 8 \\ a _{1}a _{2} = - 9 \\ \\ a _{1} = 9 \\ a _{2} = - 1$

а = - 1 не подходит условию (у четной степени не может быть минуса)

Осуществим обратную подстановку

$x {}^{2} =a \\ x {}^{2} = 9 \\ x _{1} = 3 \\ x_{2} = - 3$

Ответ: -3 ; 3

Answer 3

Для розв'язання рівняння x⁴ - 8x² - 9 = 0, спочатку введемо заміну, щоб зменшити степінь полінома. Для цього позначимо x² як змінну, наприклад, позначимо його як t. Тоді маємо:

t = x²

Підставимо цю заміну до рівняння:

t² - 8t - 9 = 0

За допомогою факторизації або застосування квадратного кореня, ми можемо розкласти це рівняння на множники:

(t - 9)(t + 1) = 0

Тепер розв'яжемо кожен множник окремо:

t - 9 = 0 або t + 1 = 0

Якщо t - 9 = 0, то маємо:

t = 9

Повертаючись до початкової зміни з x² = t, ми знаходимо:

x² = t = 9

З цього випливає, що:

x = ±√9 = ±3

Якщо t + 1 = 0, то маємо:

t = -1

Знову використовуючи початкову заміну x² = t, ми маємо:

x² = t = -1

З цього випливає, що:

x = ±√(-1) = ±i

Таким чином, рівняння x⁴ - 8x² - 9 = 0 має чотири розв'язки: x = 3, x = -3, x = i і x = -i.