Question

Док методом мат индукции 1+11+21+...+10n-9=n(5n-4)​

Answer 1

1) проверим равенство для n=1

10*1-9=1*(5*1-4)

1=1 - верно

2) предположим, что данное равенство верно для любого n=k, то есть:

1+11+21+...+10k-9=k(5k-4)

Докажем,что для n=k+1, сумма данной последовательности равна:

(k+1)(5(k+1)-4)

1+11+21+...+10k-9+10(k+1)-9=k(5k-4)+10(k+1)-9=5k²-4k+10k+10-9=5k²+6k+1=5(k+1)(k+ (1/5))=(k+1)(5k+1)=(k+1)(5(k+1)-4) - доказано!

Answer 2

Доказательство методом математической индукции:

1. База индукции: при n = 1, левая часть равна 1, а правая часть равна 1(5 - 4) = 1. Значит, равенство верно для n = 1. 2. Шаг индукции: предположим, что равенство верно для некоторого n = k, то есть 1 + 11 + 21 + ... + 10k - 9 = k(5k - 4). Докажем, что оно верно и для n = k + 1. Для этого рассмотрим левую часть при n = k + 1:

1 + 11 + 21 + ... + 10k - 9 + 10(k + 1) - 9

= k(5k - 4) + 10(k + 1) - 9 (по предположению индукции)

= k(5k - 4) + (10k + 10 - 9)

= (5k^2 - 4k) + (10k + 1)

= 5k^2 + 6k + 1

= (k + 1)(5(k + 1) - 4)

Это и есть правая часть при n = k + 1. Значит, равенство верно и для n = k + 1.

3. Заключение: по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных n.