Question

Найдите квадрат площади равнобедренной трапеции, если его периметр равен 20, острый угол 60 ( градусов ), а разность оснований равна 6

Answer 1

проведем высоту, она отрежет от трапеции прямоугольный треугольник с углом 60⁰ и катетом (часть нижнего основания) равном 6 : 2 = 3, третий угол треугольника равен: 180⁰ - 90⁰ - 60⁰ = 30⁰

напротив угла 30⁰ лежит катет равный половине гипотенузы, значит, боковая сторона равна 3 * 2 = 6

высота по теореме Пифагора:

h² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27

h = 3√3

по условию периметр = 20

6 + 6 + a + b = 20

a + b = 8

S = (a+b)/2 * h = 4 * 3√3 = 12√3

S² = 144*3 = 432

Ответ: 432

Answer 2

Пусть основания трапеции равны a и b, где a > b.

Так как периметр равнобедренной трапеции равен 20, мы можем записать уравнение:

a + b + a + b - 6 = 20

2a + 2b = 26

a + b = 13

Также известно, что острый угол трапеции равен 60 градусов. Поскольку биссектриса острого угла является медианой, мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника ABC и ABD:

A / \ / \ C-----B D

Где AC является основанием a, а BD является основанием b.

Так как треугольник ACD прямоугольный и угол CAD равен 60 градусов, мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения длины биссектрисы треугольника:

AC/AD = √3

Также нам дана разность оснований трапеции, которая равна 6:

a - b = 6

Теперь можно решить систему уравнений:

Система уравнений: a + b = 13 a - b = 6

Решение этой системы дает a = 9 и b = 4.

Теперь мы можем найти высоту треугольника ACD так как, AD/AC = cos(60) = 1/2:

AC = 9 AD = AC * 1/2 = 9 * 1/2 = 4.5

Теперь используем формулу площади треугольника: S = (1/2) * AC * AD = (1/2) * 9 * 4.5 = 20.25

Таким образом, площадь квадрата равнобедренной трапеции равна 20.25.