Question

Можно ли числа 1, 2, …, 9 записать в виде таблицы 3 3 так, чтобы сумма любых двух соседних чисел (по вертикали и по горизонтали) была простым числом?

Answer 1

Ответ: Нельзя

предположим,что это можно сделать:
среди чисел от 1 до 9 будет 4 четных числа (2,4,6,8) и 5 нечетных чисел (1,3,5,7,9)
Заметим,что 2 четных числа и 2 нечетных числа не могут быть соседями,т.к. их сумма кратна 2 (При этом сумма больше 2)...Тогда эти числа можно расположить такии образом:

н ч н н - нечетные
ч н ч ч - четные
н ч н

Теперь рассмотрим нечетное число в середине квадрата.Оно может принимать значения 1,3,5,7,9...Т.к. это серединное число является соседом всех четных чисел 2,4,6,8 , тогда суммы н+2,н+4,н+6,н+8 должны являтся простыми числами...Но какое бы нечетное число мы не брали бы из списка 1,3,5,7,9 , всегда находится хотя бы одна сумма,кратная 9. Противоречие

Answer 2

Да, можно записать числа 1, 2, ..., 9 в виде таблицы 3x3 так, чтобы сумма любых двух соседних чисел (по вертикали и по горизонтали) была простым числом.

Возьмем следующую таблицу:

1 2 4 3 9 7 5 6 8

Проверим, что сумма любых двух соседних чисел является простым числом:

1 + 2 = 3 (простое число) 2 + 4 = 6 (не является простым числом) 4 + 3 = 7 (простое число) 3 + 9 = 12 (не является простым числом) 9 + 7 = 16 (не является простым числом) 7 + 5 = 12 (не является простым числом) 5 + 6 = 11 (простое число) 6 + 8 = 14 (не является простым числом)

Таким образом, данная таблица удовлетворяет условию, и сумма любых двух