Question

1.Найти sin2A. если sinA удовлетворяет уравнению    cos2A=7sin^2A и p(пи)<A<3p(пи)/22. По оценке на делянке имеется 6500 см^3 леса. Ежегодный прирост леса составляет в среднем 2%.    а) Сколько будет на этой делянке леса через 4 года?    б) Через сколько лет запас леса на этой делянке удвоится?(сложные проценты)3. Из листа жести надо вырезать прямоугольный треугольник, квадрат площади которого максимален. Найти длины катетов этого треугольника, если длина гипотенузы равна 20 см.

Answer 1

Сотри решение во вложении

Answer 2

1. Найдем значение sin(2A) при условии, что cos(2A) = 7sin^2(A) и p(π) < A < 3p(π)/22.

Сначала преобразуем уравнение cos(2A) = 7sin^2(A):

cos(2A) = 7sin^2(A)

Используем формулу двойного угла для косинуса:

cos(2A) = 2cos^2(A) - 1

Теперь подставим это выражение в уравнение:

2cos^2(A) - 1 = 7sin^2(A)

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождественность cos^2(A) + sin^2(A) = 1:

2(1 - sin^2(A)) - 1 = 7sin^2(A)

2 - 2sin^2(A) - 1 = 7sin^2(A)

1 - 7sin^2(A) = 7sin^2(A)

Теперь сгруппируем слагаемые:

1 = 8sin^2(A)

sin^2(A) = 1/8

Теперь извлечем корень и учтем, что A находится в диапазоне от p(π) до 3p(π)/22:

sin(A) = ±√(1/8)

sin(A) = ±(1/√8) = ±(√2/8)

Так как A находится в указанном диапазоне, то sin(A) должен быть положительным. Таким образом, sin(A) = √2/8.

Теперь, чтобы найти sin(2A), используем формулу для удвоенного угла:

sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

Мы уже нашли sin(A), теперь найдем cos(A). Используя тождество cos^2(A) + sin^2(A) = 1:

cos^2(A) + (√2/8)^2 = 1

cos^2(A) + 2/64 = 1

cos^2(A) + 1/32 = 1

cos^2(A) = 1 - 1/32

cos^2(A) = 31/32

cos(A) = ±√(31/32)

Так как A находится в указанном диапазоне, то cos(A) должен быть положительным. Таким образом, cos(A) = √(31/32).

Теперь можем найти sin(2A):

sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

sin(2A) = 2(√2/8)(√(31/32))

sin(2A) = (√2/4)(√31/√32)

sin(2A) = (√2/4)(√31/4√2)

sin(2A) = (√2/4)(√31/8)

sin(2A) = (√62/32)

sin(2A) = (√31/16)

2. Рассмотрим задачу о приросте леса.

Исходный запас леса: 6500 см^3. Ежегодный прирост: 2% от исходного запаса.

а) Чтобы найти количество леса через 4 года, учтем ежегодный прирост:

6500 см^3 * (1 + 0.02)^4 = 6500 см^3 * 1.02^4

Вычислим значение 1.02^4:

1.02^4 ≈ 1.08243216

Теперь умножим исходный запас на это значение:

6500 см^3 * 1.08243216 ≈ 7054.19 см^3

Через 4 года на делянке будет около 7054.19 см^3 леса.

б) Чтобы найти, через сколько лет запас леса удвоится, мы можем использовать формулу сложных процентов:

A = P(1 + r/n)^(nt)

Где: A - конечная сумма (в данном случае, удвоенный запас леса). P - начальная сумма (исходный запас леса). r - годовая процентная ставка (в данном случае, 2% или 0.02). n - количество раз, которое проценты начисляются в год (1 раз). t - количество лет.

Мы хотим найти t, когда A будет равно 2P:

2P = P(1 + 0.02/1)^(1*t)

2 = (1.02)^t

Теперь найдем t, взяв логарифм от обеих сторон:

t * log(1.02) = log(2)

t = log(2) / log(1.02)

t ≈ 69.66

Через примерно 70 лет запас леса на делянке удвоится.

3. Для нахождения длин катетов прямоугольного треугольника, когда известна длина гипотенузы (20 см), можно воспользоваться теоремой Пифагора.

По теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

В данном случае c = 20 см. Нам нужно найти a и b. Подставим известные значения:

a^2 + b^2 = 20^2 a^2 + b^2 = 400

Для нахождения максимальной площади квадрата (a*b), мы должны максимизировать выражение a*b при условии a^2 + b^2 = 400.

Для максимума площади кв