Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое является одновременно удвоенным точным квадратом и утроенным точным кубом.

Answer 1

$M=2x^2=3y^3,M\in \mathbb{N}\Rightarrow x,y\in \mathbb{N}\\y^3=\frac{2}{3}\cdot x^2\\\\y=\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}$

Чтобы "у" был натуральным числом, надо чтобы

$\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}\in \mathbb{N}.$

Таким образом 2x²/3 должно раскладываться на произведение простых чисел, которые будут в кубе и наименьшими т.к. M - наименьшее, а значит и x,y - наименьшие.

2 уже есть, а "x" - натуральное, поэтому "х" должно быть произведением какого-то числа и 2 т.к. 2·2²=2³, да можно было x=2⁴, тогда 2·2⁸=2⁹, но нас интересует наименьшее. Так же нам надо избавиться от 3 в знаменателе, поэтому "х" должно быть произведением какого-то числа на 3ⁿ, при этом n - наименьшее, значит n=2 т.к. (3²)²:3=3³

Получается x=2·3² и подкоренное выражение 2³·3³, значит "у" будет натуральным.

На всякий случай проверим и найдём M.

$\begin{Bmatrix}y=\sqrt[3]{\frac{2x^2}{3}}\\x=2\cdot 3^2\end{matrix};y=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=6\\M=3\cdot 6^3=3\cdot 216=648\\M=2\cdot 18^2=2\cdot 324=648.\\\\Otvet\!\!:\;648.$

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо найти такое наименьшее натуральное число N, которое одновременно является удвоенным точным квадратом и утроенным точным кубом.

Пусть x - это число, которое удовлетворяет условию x^2 = 2y^3. Тогда, если мы приравняем x^2 к 2y^3, то получим x^2 = 2(3z^3), где z - это число, которое удовлетворяет условию y^3 = 3z^3.

Из этого следует, что x^2 = 2(3z^3) = 6z^3.

Таким образом, x^2 должно быть кратно 6, что означает, что x должно быть кратным 2 и 3. Поскольку 2 должно быть не меньше 3, мы можем взять p = 3. Тогда, x = 2p = 6, y = 2p = 6.

Теперь, когда мы знаем значения x и y, мы можем подставить их в исходное уравнение и найти значение z:

6^2 = 2 * 6^3 36 = 2 * 216 36 = 432

Ошибка в расчетах. Давайте попробуем другой подход. Пусть x = 2p, y = 3q, где p и q - это некоторые натуральные числа. Тогда, x^2 = 2y^3 можно переписать как (2p)^2 = 2(3q)^3.

Подставляем значения и получаем:

(2p)^2 = 2 * 3^3 * q^3 4p^2 = 54q^3

Для того чтобы найти наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет этому условию, мы можем начать с наименьших возможных значений для p и q и увеличивать их до тех пор, пока не найдем решение.

Исходя из условия, p и q должны быть четными числами, так как x^2 и y^3 должны быть кратными 2 и 3 соответственно.

Попробуем начать с p = 2 и q = 2:

4 * 2^2 = 2 * 3^3 * 2^3 16 = 54 * 8

Неверно. Давайте попробуем с p = 4 и q = 2:

4 * 4^2 = 2 * 3^3 * 2^3 64 = 54 * 8

Неверно. Давайте попробуем с p = 6 и q =