Question

При каком значении A уравнение |x^2-2x-1|=А имеет три корня?

Answer 1

Находим точки пересечения функции у = x^2-2x-1 с осью Ох.

x^2-2x-1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=(-2)^2-4*1*(-1)=4-4*(-1)=4-(-4)=4+4=8;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√8-(-2))/(2*1)=(√8+2)/2=√8/2+2/2=√2+1≈2.414214;

x_2=(-√8-(-2))/(2*1)=(-√8+2)/2=-√8/2+2/2=-√2+1≈-0.414214.

В заданной функции отрицательные значения переходят в положительную полуплоскость.

Находим координаты вершины.

хо = -в/2а = 2/2 = 1.

уо = |1-2-1| = 2.

Ответ: а = 2.

В этой точке прямая у = а касается вершины и пересекает 2 ветви параболы.

Answer 2

Чтобы уравнение |x^2 - 2x - 1| = A имело три корня, мы должны рассмотреть два случая:

1. Когда x^2 - 2x - 1 = A.
2. Когда x^2 - 2x - 1 = -A.

Давайте начнем с первого случая:

1. x^2 - 2x - 1 = A

Теперь давайте рассмотрим второй случай:

2. x^2 - 2x - 1 = -A

Оба этих уравнения должны иметь корни, и если мы хотим, чтобы уравнение |x^2 - 2x - 1| = A имело три корня, это означает, что каждое из этих уравнений должно иметь по одному корню.

Для нахождения корней этих квадратных уравнений, мы можем использовать дискриминант (D = b^2 - 4ac). Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня.

Для первого уравнения (x^2 - 2x - 1 = A):

D1 = (-2)^2 - 4(1)(-1 - A) = 4 + 4A

Для второго уравнения (x^2 - 2x - 1 = -A):

D2 = (-2)^2 - 4(1)(-1 + A) = 4 + 4A

Теперь мы видим, что D1 и D2 имеют одинаковое значение (4 + 4A). Чтобы уравнения имели по одному корню, дискриминант должен быть равен нулю:

4 + 4A = 0

Теперь решим это уравнение относительно A:

4A = -4

A = -1

Таким образом, при A = -1 уравнение |x^2 - 2x - 1| = A имеет три корня.

Answer 3

Чтобы уравнение |x^2 - 2x - 1| = A имело три корня, модуль на левой стороне должен равняться A и иметь три корня, т.е., оно должно быть равно нулю в трех разных точках.

Сначала рассмотрим уравнение без модуля:

x^2 - 2x - 1 = A

Теперь найдем его корни с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-1 - A) = 4 + 4A

Уравнение имеет два корня, если D > 0, один корень, если D = 0, и ни одного корня, если D < 0.

Для того чтобы уравнение имело три корня, D должно быть больше нуля. Таким образом:

4 + 4A > 0

Теперь выразим A:

4A > -4

A > -1

Таким образом, уравнение |x^2 - 2x - 1| = A имеет три корня при любых значениях A, где A > -1.