Question

(x+1)y'+y=x^3+x^2 y(0)=0

Answer 1

************************************

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение (x+1)y'+y=x^3+x^2 и начальное условие y(0)=0.

Для начала найдем общее решение дифференциального уравнения. Для этого используем метод вариации постоянной.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения (x+1)y'+y=0. Для этого решим характеристическое уравнение r(x+1)+1=0. Отсюда получаем r=-1. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид y_h=Ce^{-x}, где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения (x+1)y'+y=x^3+x^2. Предположим, что частное решение имеет вид y_p=ax^3+bx^2+cx+d, где a, b, c, d - неизвестные коэффициенты. Тогда найдем производные y_p и подставим их в неоднородное уравнение. После подстановки и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x получим систему уравнений, которую можно решить и найти значения a, b, c, d.

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид y=y_h+y_p=Ce^{-x}+ax^3+bx^2+cx+d.

Используя начальное условие y(0)=0, можно найти значение постоянной С и коэффициентов a, b, c, d. Подставляя их в общее решение, получим частное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, решив данное дифференциальное уравнение с начальным условием, получим конкретное решение уравнения.