Question

Можете объяснить решение 4^x-2^(x+1)=48

Answer 1

.............................................

Answer 2

Для решения данного уравнения относительно $x$, мы можем использовать алгебраические методы.

Итак, у нас есть уравнение:

$4^x - 2^{x+1} = 48$

Мы можем представить $4$ как $2^2$, тогда уравнение будет:

$(2^2)^x - 2\cdot 2^x = 48$

После этого заметим, что $2\cdot 2^x = 2^{x+1}$, заменяя, получаем:

$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x = 48$

Подставим $2^x = t$:

$t^2 - 2t = 48$

Теперь перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения:

$t^2 - 2t - 48 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или метода факторизации. Дискриминант этого уравнения равен $b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$, следовательно, дискриминант положителен.

Поэтому у нас есть два корня: $t_1$ и $t_2$, которые можно найти с помощью формулы:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Вычисляя значения, получим:

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8$

$t_2 = \frac{2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{2 - 14}{2} = -6$

Теперь мы найдем $x$ с помощью $2^x = t$:

$2^x = 8 \quad \text{или} \quad 2^x = -6$

Для $2^x = 8$:

$x = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

Для $2^x = -6$ - решения нет, так как $2^x$ всегда положительно.

Таким образом, у нас есть одно решение $x = 3$.