Question

Дано: |a|=3, |b|=4,угол между векторами a и b равен Пи/3, P=3a-2b , q=αa-3b ,векторы p и q ортогональны. Найти α.

Answer 1

$\vec p * \vec q =0\\ (3\vec a-2\vec b)*(\alpha\vec a-3\vec b)=3\alpha(\vec a)^2+6(\vec b)^2-(9+2\alpha)*\vec a*\vec b=\\=3\alpha*9+6*16-(9+2\alpha)*3*4*\frac{1}{2}=\\=96+27\alpha-54-12\alpha=42+15\alpha=0\\\alpha=-\frac{42}{15}=-2.8$

Answer 2

Для найти значение α, мы можем воспользоваться условием ортогональности векторов p и q. Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов p и q выражается как:

$p \cdot q = (3a - 2b) \cdot (\alpha a - 3b)$.

Используя свойства скалярного произведения (раскрываем скобки и используем линейность скалярного произведения векторов), получаем:

$p \cdot q = 3\alpha(a \cdot a) - 9(b \cdot b) - 2\alpha(a \cdot b) + 6(b \cdot b)$.

Учитывая, что $|a| = 3$ и $|b| = 4$, а также угол между a и b равен $\pi/3$, мы можем вычислить $a \cdot a$ и $a \cdot b$:

$a \cdot a = 3^2 = 9$,

$a \cdot b = |a| \times |b| \times \cos(\pi/3) = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$.

Таким образом, выражение для $p \cdot q$ становится:

$p \cdot q = 27\alpha - 54 - 12\alpha + 24$.

Теперь мы знаем, что векторы p и q ортогональны, поэтому $p \cdot q = 0$. Подставляем это в уравнение:

$27\alpha - 54 - 12\alpha + 24 = 0$.

Решая это уравнение, найдем значение α:

$15\alpha - 30 = 0$,

$\alpha = \frac{30}{15} = 2$.

Таким образом, значение α равно 2.