Question

Вычислить определенный интеграл от 5хdx/10x^2+3

Answer 1

$5\int \frac{xdx}{10x^2+3}\\ 10x^2+3=t\\ 20xdx=dt\\ \frac{1}{4}\int \frac{dt}{t}= \frac{1}{4}ln|10x^2+3|+C$

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла от $\frac{5x}{10x^2+3}$ по $x$ сначала разложим дробь на простейшие дроби (partial fraction decomposition).

Дробь $\frac{5x}{10x^2+3}$ может быть представлена в виде суммы двух дробей следующим образом:

$\frac{5x}{10x^2+3} = \frac{A}{10x^2} + \frac{B}{3}$

Теперь найдем значения $A$ и $B$. Умножим обе стороны уравнения на знаменатель и выполним соответствующие операции:

$5x = A \cdot 3 + B \cdot 10x^2$

Теперь подставим значения $x = 0$ и $x = 1$ для нахождения коэффициентов $A$ и $B$:

При $x = 0$: $0 = A \cdot 3 + B \cdot 10 \cdot 0^2 = 3A$ $A = 0$

При $x = 1$: $5 = 0 \cdot 3 + B \cdot 10 \cdot 1^2 = 10B$ $B = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Теперь мы знаем значения $A$ и $B$:

$\frac{5x}{10x^2+3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10x^2}$

Теперь можем интегрировать:

$\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10x^2} \, dx$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \int dx - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \int \frac{1}{x^2} \, dx$

$\frac{1}{6} \int dx - \frac{1}{20} \int \frac{1}{x^2} \, dx$

Теперь вычислим интегралы:

$\frac{1}{6} \int dx = \frac{1}{6}x + C_1$

$-\frac{1}{20} \int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{20} \left(-\frac{1}{x}\right) + C_2 = \frac{1}{20x} + C_2$