Question

Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.y"-3y'-4xy^4=sinx,  y(0),  y'(0)=2

Answer 1

Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.
y"-3y'-4xy^4=sinx,  y(0),y'(0)=2
Вопрос чему равен y(0).
При решении задачи принял, что у(0) = y'(0) = 2.
Хотя может быть любое другое значение.
Решение:
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые четыре отличные от нуля  значения y(0),y'(0),y"(0),у"'(0).
По условию задачи у(0) = y'(0) = 2  Выразим из уравнения  y"(0):
  y" - 3y' - 4xy^4 = sin(x)
  y"= sin(x) + 3y' + 4xy^4
  y"(0)  = sin(0) +3y'(0) +4*0*y(0)^4 = 3*2 = 6
 Продиференцируем уравнение и найдем у"'(0)
   y"' - 3y'' - 4y^4 - 12xy³ = cos(x)
   y"' = cos(x) + 3y'' + 4y^4 + 12xy³ = cos(x)
   y"'(0) = cos(0) +3*6 +4*2^4 +12*0*2³  = 1+18+64 = 83
   Окончательно получим:
   Ряд Mакларена    y =y(0)+y'(0)*x+y"(0)x²/2! + y"'(0)x³/3!+...

    y= 2 +2x + (6/2!)x² + (83/3!)x² = 2 + 2x + 3x² + (83/6)x³

Answer 2

Для нахождения разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши, представим функцию y(x) в виде бесконечного ряда:

y(x) = Σ [aₙxⁿ]

где aₙ - коэффициенты разложения. Затем найдем производные y'(x) и y''(x) в терминах aₙ:

y'(x) = Σ [aₙn xⁿ⁻¹] y''(x) = Σ [aₙn(n-1) xⁿ⁻²]

Теперь подставим y(x), y'(x) и y''(x) в уравнение задачи Коши:

y'' - 3y' - 4xy^4 = sin(x)

Σ [aₙn(n-1) xⁿ⁻²] - 3Σ [aₙn xⁿ⁻¹] - 4x(Σ [aₙxⁿ])^4 = sin(x)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю, чтобы найти коэффициенты aₙ:

1. Коэффициент при x⁰:

a₀₀ - 3a₀₀ - 4a₀₀⁴ = 0

Это уравнение дает a₀₀ = 0.

2. Коэффициент при x¹:

a₁₁(1·0) - 3a₁₀(1) - 4a₀₁⁴ = 1

a₁₁ - 3a₁₀ - 4a₀₁⁴ = 1

3. Коэффициент при x²:

a₂₂(2·1) - 3a₂₁(2) - 4a₁₂⁴ = 0

2a₂₂ - 6a₂₁ - 4a₁₂⁴ = 0

4. Коэффициент при x³:

a₃₃(3·2) - 3a₃₂(3) - 4a₂₃⁴ = 0

6a₃₃ - 9a₃₂ - 4a₂₃⁴ = 0

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для определения первых четырех коэффициентов aₙ.

1. a₀₀ = 0
2. a₁₁ - 3a₁₀ - 4a₀₁⁴ = 1
3. 2a₂₂ - 6a₂₁ - 4a₁₂⁴ = 0
4. 6a₃₃ - 9a₃₂ - 4a₂₃⁴ = 0

Из первого уравнения следует, что a₀₁ = 0.

Из второго уравнения получим a₁₁ = 1 + 3a₁₀ + 4a₀₁⁴ = 1 + 30 + 40⁴ = 1.

Из третьего уравнения можно выразить a₂₂: 2a₂₂ = 6a₂₁ + 4a₁₂⁴, и так как a₁₂ = 0, то a₂₂ = 0.

Из четвертого уравнения можно выразить a₃₃: 6a₃₃ = 9a₃₂ + 4a₂₃⁴, и так как a₂₃ = 0, то a₃₃ = 0.

Таким образом, первые четыре коэффициента aₙ равны:

a₀ = 0 a₁ = 1 a₂ = 0 a₃ = 0

Разложение в ряд Маклорена решения задачи Коши будет иметь вид:

y(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

y(x) = x