Question

Вычислить предел lim (sinx)^1/(lnx^3) при x стремящемуся к нулю

Answer 1

$\lim_{x\to0}(\sin(x))^{ \frac{1}{\ln x^3} } =\\ =$
при x->0; x^3->0; lnx^3-> $-\infty$; $\frac{1}{\ln x^3}->-0;$ 
$\sin x-> x->0;\\ 0^(-0)$
=0

Answer 2

Для вычисления предела lim (sinx)^(1/(lnx^3)) при x стремящемся к нулю, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Сначала найдем предел логарифма в знаменателе:

lim (lnx^3) при x -> 0.

Для этого используем свойство логарифма ln(a^b) = b*ln(a):

ln(x^3) = 3ln(x).

Теперь мы можем вычислить предел:

lim (lnx^3) при x -> 0 = lim 3lnx при x -> 0.

Теперь применим правило Лопиталя для нахождения этого предела:

lim 3lnx при x -> 0 = 3 * lim ln(x) при x -> 0.

Теперь рассмотрим предел ln(x) при x стремящемся к нулю:

lim ln(x) при x -> 0 = -∞.

Теперь вернемся к исходному пределу:

lim (sinx)^(1/(lnx^3)) при x -> 0 = lim (sinx)^(1/(-∞)) при x -> 0.

Теперь мы имеем дело с пределом вида 1/(-∞), что равно 0. Таким образом, предел

lim (sinx)^(1/(lnx^3)) при x -> 0 = 0.