Question

На стороні ВС трикутника ABC взято точку D так, що BD:DC = 2:3, а на стороні АС взято точку Е так, що AE :EC =1:2. Відрізки AD i BE перетинаються в точці О. Знайти відношення AO : OD.

Answer 1

Ответ:

Для знаходження відношення AO : OD розглянемо співвідношення відрізків на сторонах трикутника ABC:

BD : DC = 2 : 3 ...(1)

AE : EC = 1 : 2 ...(2)

Для того щоб отримати відповідне відношення на стороні BC помножимо обидві частини рівняння (1) на 3:

3(BD : DC) = 3(2 : 3)

BD : DC = 2 : 1

Таким чином маємо BD : DC = 2 : 1 : 1 що вказує що точка D поділяє сторону BC в пропорції 2:1.

Аналогічно множимо обидві частини рівняння (2) на 2:

2(AE : EC) = 2(1 : 2)

AE : EC = 1 : 1

Таким чином маємо AE : EC = 1 : 1 : 1 що вказує що точка Е поділяє сторону АС в пропорції 1:1.

Тепер звернувшись до трикутника ADO застосуємо подібність трикутників BDC і BAE. Оскільки A D і B лежать на одній прямій то можемо сказати що трикутники BDC і BAE подібні згідно правилу Застосовуючи це відношення отримаємо:

DO : OC = BD : DC = 2 : 1

Так як OC і DO складають всю сторону ОС то їхні відношення дорівнює зворотному відношенню їх довжин:

OC : DO = 1 : 2

Отже відношення AO : OD буде таке ж як відношення OC : DO що дорівнює 1 : 2.

Таким чином маємо:

AO : OD = 1 : 2

Answer 2

Для знаходження відношення AO : OD ми можемо використовувати подібність трикутників. Ось як це працює:

Спершу врахуємо подібність трикутників AOE та COD за теоремою Таліса:

За умовою, ми знаємо, що AE : EC = 1 : 2, отже, ми можемо представити AE як 1x та EC як 2x. Тобто, AE = 1x та EC = 2x.

Також ми знаємо, що BD : DC = 2 : 3, тому ми можемо представити BD як 2y та DC як 3y. Тобто, BD = 2y та DC = 3y.

Зараз ми можемо знайти відношення AO : OD. Для цього спростимо вирази AO та OD в трикутниках AOE та COD:

У трикутнику AOE: AO = AE - EO = 1x - EO

У трикутнику COD: OD = OC - CD = (EC + EO) - BD = (2x + EO) - 2y

Зараз ми можемо визначити відношення AO : OD: AO : OD = (1x - EO) : ((2x + EO) - 2y)

Але ми знаємо, що трикутники AOE та COD подібні. Отже, відношення AO : OD дорівнює відношенню сторін тих двох трикутників:

AO : OD = (AE - EO) : ((EC + EO) - BD)

Тепер підставимо значення AE, EC, BD та DC, які ми виразили раніше: AO : OD = (1x - EO) : ((2x + EO) - 2y)

Тепер ми можемо використовувати подібність трикутників для виразу AO : OD.

Пам'ятайте, що для розв'язку потрібно мати значення EO, яке ми не знаємо. Якщо ви зможете надати значення EO або інші відомі величини, які дозволять знайти EO, то ми зможемо розрахувати відношення AO : OD конкретно в цьому випадку.