Question

Найти проекцию точки A(-5;2) на прямую 3x-4y-7=0

Answer 1

(5,-2,1) - вектор нормли плоскости.Построим прямую на этом векторе, которая проходит через точку А. Запишем систему уравнений вместе с уравнением плоскости
Подставим результат в систему.
Ответ:  

Answer 2

Чтобы найти проекцию точки A(-5;2) на прямую 3x - 4y - 7 = 0, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Найдите уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой 3x - 4y - 7 = 0 и проходящей через точку A(-5;2). Для этого мы можем использовать свойство перпендикулярности, которое гласит, что произведение коэффициентов при x и y в уравнении прямой, перпендикулярной данной прямой, должно быть равно -1. Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид 4x + 3y + c = 0, где c - неизвестная константа.

2. Подставьте координаты точки A(-5;2) в уравнение перпендикулярной прямой 4x + 3y + c = 0, чтобы найти значение константы c. Получившееся уравнение будет иметь вид 4*(-5) + 3*2 + c = 0.

Решая это уравнение, мы найдем значение c.

3. Найдите точку пересечения исходной прямой 3x - 4y - 7 = 0 и перпендикулярной прямой 4x + 3y + c = 0. Для этого решите систему уравнений этих двух прямых. Замените в уравнениях одну из переменных (x или y) на соответствующее выражение, используя найденное значение константы c.

4. Найдите расстояние между точкой A(-5;2) и точкой пересечения прямых. Для этого можно использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

5. Наконец, найдите проекцию точки A(-5;2) на прямую 3x - 4y - 7 = 0, которая будет являться точкой пересечения прямых.

Примерный код в Python для решения этой задачи:

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y, c = symbols('x y c')

# Уравнение исходной прямой
equation1 = Eq(3*x - 4*y - 7, 0)

# Уравнение перпендикулярной прямой
equation2 = Eq(4*x + 3*y + c, 0)

# Подставляем координаты точки A(-5;2) в уравнение перпендикулярной прямой
equation2_subs = equation2.subs([(x, -5), (y, 2)])

# Решаем уравнение equation2_subs относительно c
c_value = solve(equation2_subs, c)[0]

# Находим точку пересечения прямых
intersection_point = solve([equation1, equation2.subs(c, c_value)], (x, y))

# Вычисляем расстояние между точкой A(-5;2) и точкой пересечения прямых
distance = ((-5 - intersection_point[x])2 + (2 - intersection_point[y])2)**0.5

# Найденная проекция точки A(-5;2) на прямую 3x - 4y - 7 = 0
projection_point = intersection_point

print(f"Проекция точки A(-5;2) на прямую 3x - 4y - 7 = 0: {projection_point}")
print(f"Расстояние от точки A(-5;2) до проекции: {distance}")

Выполнив этот код, вы получите координаты точки, которая является проекцией точки A(-5;2) на прямую 3x - 4y - 7 = 0, а также расстояние от точки A до этой проекции.