Question

. Знайдіть n, якщо: а) Pn = 42 · Pn – 2; .

Answer 1

Ответ:

б) Fn = 3 · Fn-1 – 2 · Fn-2 з відомими початковими значеннями F0 = 1 F1 = 1.

a) За формулою для рекурентної послідовності Pn = 42 · Pn – 2 маємо:

P0 = 1

P2 = 42 · P0 = 42

P4 = 42 · P2 = 42 · 42 = 1764

P6 = 42 · P4 = 42 · 1764 = 74148

P8 = 42 · P6 = 42 · 74148 = 3112936

Отже з формули видно що непарні значення n послідовності Pn будуть дорівнювати 0 а парні будуть обчислюватися за формулою Pn = 42 · Pn-2. Таким чином щоб отримати P10 нам потрібно застосувати формулу до P8:

P10 = 42 · P8 = 42 · 3112936 = 130512312

Отже P10 = 130512312.

б) З формулою для чисел Фібоначчі Fn = 3 · Fn-1 – 2 · Fn-2 та відомими початковими значеннями F0 = 1 F1 = 1 маємо:

F2 = 3 · F1 – 2 · F0 = 1

F3 = 3 · F2 – 2 · F1 = 1

F4 = 3 · F3 – 2 · F2 = 1

F5 = 3 · F4 – 2 · F3 = 1

F6 = 3 · F5 – 2 · F4 = 1

F7 = 3 · F6 – 2 · F5 = 1

Таким чином з формули видно що Fn завжди дорівнюватиме 1 для всіх n ≥ 2. Тому щоб знайти n за послідовністю Fn потрібно знайти перше значення коли Fn > 1000. За допомогою рекурентної формули можна знайти наступні значення:

F8 = 3 · F7 – 2 · F6 = 3 · 1 – 2 · 1 = 1

F9 = 3 · F8 – 2 · F7 = 3 · 1 – 2 · 1 = 1

Отже перше значення n коли Fn > 1000 буде n = 8. Тому щоб знайти n за послідовністю Fn потрібно розв'язати рівняння Fn = 1000 що дає F8 = 987. Отже n = 8.

Answer 2

Для знаходження n у рівнянні Pn = 42 · Pn - 2 потрібно врахувати, що Pn - 2 - це попередній член послідовності Pn, а Pn - це поточний член. Тобто, Pn - 2 - це (n - 2)-й член послідовності, і рівняння означає, що поточний член дорівнює 42 рази попередньому члену.

Математично, це можна записати так:

Pn = 42 * Pn - 2

Або:

Pn = 42 * Pn - 2

Тепер ми можемо виразити Pn - 2 відносно Pn:

Pn - 2 = Pn / 42

Тепер ми можемо записати рівняння так:

Pn = 42 * (Pn / 42)

Після цього можна спростити вираз, поділивши обидві сторони на 42:

Pn = Pn / 42

Тепер ми бачимо, що Pn знаходиться в обох частинах рівняння, і ми можемо спростити рівняння, поділивши обидві сторони на Pn:

1 = 1 / 42

Таке рівняння неможливо виконати, оскільки 1 не дорівнює 1/42. Тобто, рівняння Pn = 42 · Pn - 2 не має розв'язку.

Отже, неможливо знайти n для цього рівняння, оскільки воно некоректне або не має розв'язку.