Question

Укажите первообразную функции f(x) = 5х^4 – 2х + 1

Answer 1

Решение:

$\boxed{f(x)=5x^4-2x+1} \\ \\ F(x)=5\cdot \dfrac{x^{4+1}}{4+1}-2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+x+C=\boxed{\dfrac{5x^5}{5}-\dfrac{2x^2}{2}+x+C}$

Можем сократить некоторые числа в первообразной:

$\boxed{F(x)=\dfrac{5x^5}{5}-\dfrac{2x^2}{2}+x+C = x^5-x^2+x+C}$

Использованные правила:

$f(x)=x^n \Rightarrow F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C, \: npu \: n\neq -1$

$f(x)=a \Rightarrow F(x)=ax+C, \: npu \: a -$число

Ответ: $\Large{\boxed{F(x)=x^5-x^2+x+C}}$

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции f(x) = 5x^4 – 2x + 1, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна исходной функции f(x).

Чтобы найти первообразную функции, мы применяем методы интегрирования. В данном случае, нам понадобятся формулы для интегрирования степенных функций и линейных функций.

Итак, начнем с интегрирования каждого слагаемого по отдельности:

∫(5x^4) dx = (5/5)x^5 + C1 = x^5 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

∫(-2x) dx = (-2/2)x^2 + C2 = -x^2 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

∫(1) dx = x + C3, где C3 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь объединим все слагаемые:

F(x) = x^5 - x^2 + x + C, где C = C1 + C2 + C3 - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 5x^4 – 2x + 1 равна F(x) = x^5 - x^2 + x + C, где C - произвольная постоянная.