Question

Найдите первообразную функцию f(x)=e^x-3^x , проходящей через точку (0;-2). ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=eˣ-3ˣ

$F(x) = \int\limits{(e^{x} - 3^{x} )} \, dx = e^{x} -\frac{3^{x} }{ln3} +C$

$e^{0} -\frac{3^{0} }{ln3} +C = -2$

1-1/ln3 +C = -2 ⇒ C = 1/ln3 -3

$F_{1} (x) = e^{x} -\frac{3^{x} }{ln3} +\frac{1}{ln3} -3$

Answer 2

Для того, чтобы найти первообразную функцию f(x)=e^x-3^x, проходящей через точку (0;-2), нужно выполнить следующие шаги:

- Найти неопределенный интеграл от f(x), то есть функцию F(x), такую, что F'(x)=f(x). Для этого можно использовать правило линейности интеграла и свойства интегралов от экспоненциальных функций. Получаем:

F(x) = ∫(e^x-3^x)dx = ∫e^xdx - ∫3^xdx = e^x - 3^x/ln(3) + C

- Найти константу C, используя начальное условие F(0)=-2. Для этого подставим x=0 в F(x) и решим уравнение относительно C. Получаем:

F(0) = e^0 - 3^0/ln(3) + C = -2 C = -2 - 1 + 1/ln(3) = -3 + 1/ln(3)

- Записать ответ в виде F(x) = e^x - 3^x/ln(3) - 3 + 1/ln(3). Это первообразная функция f(x), проходящая через точку (0;-2).

Надеюсь, это поможет вам понять решение задачи. Вы можете найти больше примеров и объяснений по теме интегралов на сайтах [Mathway](https://www.mathway.com/ru/popular-problems/Calculus/546192) или [Mathorg](https://mathorg.ru/49/681/pn_2).