Question

4sin^2(x)-12sin(x)+5=0 решить тригонометрическое уравнение

Answer 1

$4\sin^2x-12\sin x+5=0$

$D_1=(-6)^2-4\cdot5=36-20=16$

$\sin x\neq \dfrac{6+4}{4} =2.5>1$ - не дает решений, так как синут не принимает значений больше 1

$\sin x=\dfrac{6-4}{4} =\dfrac{1}{2}$

$x=(-1)^k\arcsin\dfrac{1}{2} +\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$

$\boxed{x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6} +\pi k,\ k\in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения 4sin^2(x) - 12sin(x) + 5 = 0, можно использовать метод подстановки.

1. Сначала выразим sin(x) через cos(x) или cos(x) через sin(x). В данном случае, удобнее использовать sin(x), так как это упростит уравнение. Подставим sin(x) = y:

4y^2 - 12y + 5 = 0

2. Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы квадратного корня:

y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)

где a = 4, b = -12 и c = 5. Подставляем эти значения в формулу:

y = [12 ± sqrt((-12)^2 - 4*4*5)] / (2*4) y = [12 ± sqrt(144 - 160)] / 8 y = [12 ± sqrt(-16)] / 8 y = [12 ± 4i] / 8 y = [3 ± i]

3. Так как y = sin(x), то sin(x) = [3 ± i]. Это означает, что у нас есть два решения: sin(x) = 3 и sin(x) = -i.

4. Чтобы получить решения в виде x, мы должны использовать арксинус (или арккосинус, если подставляем cos(x)). Так как sin(x) = 3, то x = arcsin(3) + 2kπ, где k - любое целое число. Если sin(x) = -i, то x = -i + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, решениями данного уравнения являются x = arcsin(3) + 2kπ и x = -i + 2kπ.