Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у = х^2 - 1 та у = х+1

Answer 1

Ответ:

график пересекает ось ОХ, то у=0. х²+1=0, это уравнение не имеет корней, значит график не пересекает ОХ.

-х²-1=0, х²=-1, тоже не имеет корней, то график не пересекает ОХ.

y=x²+1- график этой функции парабола не пересекает ОХ, ветви направлены вверх и вершина параболы в точке (0; 1) поднята на 1 единицу 

у=-х²-1 - график этой функции парабола не пересекает ОХ, ветви направлены вниз и вершина в точке (0; -1) и опущена вниз на 1 единицу

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої графіками функцій у = x^2 - 1 та у = x + 1, спершу ми повинні знайти точки їх перетину, оскільки це буде ліва та права межі фігури.

1. Знайдемо точку перетину функцій, розв'язавши рівняння: x^2 - 1 = x + 1

Переносимо всі елементи на одну сторону: x^2 - x - 1 - 1 = 0 x^2 - x - 2 = 0

Тепер ми можемо вирішити це квадратне рівняння. Використаємо квадратне рівняння для знаходження коренів: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку: a = 1, b = -1, c = -2

x = (1 ± √((-1)² - 4(1)(-2))) / (2(1)) x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 x = (1 ± √9) / 2 x = (1 ± 3) / 2

Отримаємо два значення для x: x₁ = -1 і x₂ = 2.

2. Тепер ми знаємо точки перетину функцій, тобто x₁ = -1 і x₂ = 2. Тепер ми можемо знайти відповідні значення y для цих точок, використовуючи обидві функції:

Для функції у = x^2 - 1: y₁ = (-1)² - 1 = 1 - 1 = 0 y₂ = (2)² - 1 = 4 - 1 = 3

Для функції у = x + 1: y₁ = (-1) + 1 = 0 + 1 = 1 y₂ = (2) + 1 = 2 + 1 = 3

3. Таким чином, ми маємо чотири точки: (-1, 0), (-1, 1), (2, 3) і (2, 3). Фігура обмежена цими точками є прямокутником зі сторонами паралельними осям координат. Площа прямокутника може бути обчислена за допомогою формули:

Площа = (довжина) * (ширина)

Довжина прямокутника = відстань між x₁ і x₂ = |x₁ - x₂| = |(-1) - 2| = 3 Ширина прямокутника = відстань між y₁ і y₂ = |y₁ - y₂| = |0 - 3| = 3

Площа прямокутника = 3 * 3 = 9 квадратних одиниць.

Отже, площа фігури, обмеженої графіками функцій у = x^2 - 1 та у = x + 1, дорівнює 9 квадратним одиницям.