Question

Произведение двух матриц

Answer 1

Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Таким образом, формула элемента матрицы C:



Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .

Answer 2

Произведение двух матриц — это матрица, в которой каждый элемент равен сумме произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и столбца второй матрицы. Для того, чтобы произведение двух матриц было определено, необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы совпадало с числом строк второй матрицы. Формула для вычисления произведения матриц $A_{m \\times n}$ и $B_{n \\times k}$ имеет вид:

$$ C_{m \\times k} = AB = \\left(\\begin{array}{ccc} a_{11} & \\cdots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{m1} & \\cdots & a_{mn} \\end{array}\\right) \\left(\\begin{array}{ccc} b_{11} & \\cdots & b_{1k} \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ b_{n1} & \\cdots & b_{nk} \\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{ccc} c_{11} & \\cdots & c_{1k} \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ c_{m1} & \\cdots & c_{mk} \\end{array}\\right) $$

где $c_{ij} = \\sum_{s=1}^n a_{is}b_{sj}$ для $i = 1, \\ldots, m$ и $j = 1, \\ldots, k$.

Пример. Пусть $A = \\left(\\begin{array}{rr} 1 & -1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 3 & 0 \\end{array}\\right)$ и $B = \\left(\\begin{array}{rr} 1 & 1 \\\\ 2 & 0 \\end{array}\\right)$. Тогда $AB = \\left(\\begin{array}{rr} -1 & 1 \\\\ 2 & 2 \\\\ 3 & 3 \\end{array}\\right)$, а $BA$ не определено, так как число столбцов матрицы $B$ не равно числу строк матрицы $A$.

Свойства произведения матриц:

- Некоммутативность: $AB \\neq BA$ в общем случае. - Ассоциативность: $(AB)C = A(BC)$ для любых согласованных матриц $A$, $B$ и $C$. - Дистрибутивность: $A(B + C) = AB + AC$ и $(A + B)C = AC + BC$ для любых согласованных матриц $A$, $B$ и $C$. - Соотношение с транспонированием: $(AB)^T = B^TA^T$ для любых согласованных матриц $A$ и $B$.

Для более подробного объяснения и примеров вы можете посмотреть [этот сайт](https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/multiply/) или [этот видео](https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_6_6.php).