Question

Найти вторую производную функции y=sin^2(x/3)

Answer 1

Это сложная функция, её производная находится по формуле $(u(v))'=u'(v) \cdot v'$

Табличные формулы нахождения производных $(\sin{x})'=\cos{x}, \ \ \ (\cos{x})'=-\sin{x}, \ \ \ (x^{n} )'=n \cdot x^{n-1}$

также применим формулу двойного угла $2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x}=\sin{2x}$
 
Найдём первую производную
$(\sin^2{\frac{x}{3}})'=2\sin{\frac{x}{3}} \cdot (\sin{\frac{x}{3}})' \cdot (\frac{x}{3})'=2\sin{\frac{x}{3}} \cdot \cos{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\sin{\frac{x}{3}} \cdot \cos{\frac{x}{3}=$$=\frac{1}{3}\sin{\frac{2x}{3}}$

Найдём вторую производную
$(\frac{1}{3}\sin{\frac{2x}{3}})'=\frac{1}{3} (\sin{\frac{2x}{3}})' \cdot (\frac{2x}{3})'=\frac{1}{3} \cos{\frac{2x}{3}} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9} \cdot \cos{\frac{2x}{3}}$

Answer 2

Функция y = sin^2(x/3) представляет собой квадрат синуса аргумента, деленного на 3. Чтобы найти вторую производную этой функции, мы сначала найдем первую производную, а затем возьмем производную от полученного выражения.

Нахождение первой производной:

Для нахождения первой производной функции y = sin^2(x/3), мы применим правило дифференцирования для композиции функций. Правило гласит, что производная композиции функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Для внешней функции возьмем квадрат синуса: u(x) = sin^2(x). Для внутренней функции возьмем аргумент, деленный на 3: v(x) = x/3.

Применяя правило дифференцирования для композиции функций, получаем: y' = (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x).

Найдем производные внешней и внутренней функций: u'(x) = 2sin(x) * cos(x) (производная квадрата синуса) v'(x) = 1/3 (производная x/3)

Теперь можем вычислить первую производную функции y = sin^2(x/3): y' = u'(v(x)) * v'(x) = 2sin(v(x)) * cos(v(x)) * v'(x) = 2sin(x/3) * cos(x/3) * (1/3).

Нахождение второй производной:

Чтобы найти вторую производную функции y = sin^2(x/3), мы применим правило дифференцирования для произведения функций. Правило гласит, что производная произведения функций равна сумме произведений производных этих функций.

Применим правило дифференцирования для произведения функций к первой производной y': y'' = (2sin(x/3) * cos(x/3) * (1/3))'.

Найдем производную этого выражения: y'' = (2sin(x/3) * cos(x/3) * (1/3))' = 2 * (sin(x/3) * cos(x/3))' * (1/3).

Теперь найдем производную sin(x/3) * cos(x/3): (sin(x/3) * cos(x/3))' = (sin(x/3))' * cos(x/3) + sin(x/3) * (cos(x/3))'.

Найдем производные sin(x/3) и cos(x/3): (sin(x/3))' = (1/3) * cos(x/3) (производная sin(x/3)) (cos(x/3))' = -(1/3) * sin(x/3) (производная cos(x/3))

Подставим найденные производные в выражение для y'': y'' = 2 * ((1/3) * cos(x/3) * cos(x/3) - sin(x/3) * (1/3) * sin(x/3)) * (1/3).

Упростим это выражение: y'' = 2 * ((1/3) * cos^2(x/3) - (1/3) * sin^2(x/3)) * (1/3).

Таким образом, вторая производная функции y = sin^2(x/3) равна: y'' = 2 * ((1/3) * cos^2(x/3) - (1/3) * sin^2(x/3)) * (1/3).

Ответ: Вторая производная функции y = sin^2(x/3) равна 2 * ((1/3) * cos^2(x/3) - (1/3) * sin^2(x/3)) * (1/3).