Question

Найти частные решения дифференциальныхуравненийс разделяющимися переменными a) (x+3)dy-(y+2)dx=0,y(2)=3

Answer 1

Рассмотрите такое решение:
$\frac{dy}{y+2} = \frac{dx}{x+3} \ =\ \textgreater \ \ ln|y+2|=ln|x+3|+C;$
Откуда y=C(x+3)-2 при у(2)=3 С=1.
Следовательно, у=х+1

Answer 2

Для нахождения частных решений дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, которое дано вам в форме:

(a)(x+3)dy - (y+2)dx = 0, y(2) = 3,

выполним следующие шаги:

Шаг 1: Разделим дифференциальное уравнение на (x+3)dy и получим:

dy/(y+2) = dx/(x+3).

Шаг 2: Запишем две стороны уравнения в виде интегралов:

∫(1/(y+2))dy = ∫(1/(x+3))dx.

Шаг 3: Проинтегрируем обе стороны уравнения:

ln|y+2| = ln|x+3| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Применяем экспоненциальную функцию к обеим сторонам уравнения:

|y+2| = |x+3| * e^C.

Шаг 5: Воспользуемся начальным условием y(2) = 3, чтобы найти значение постоянной C:

|3+2| = |2+3| * e^C.

5 = 5 * e^C.

e^C = 1.

C = 0.

Шаг 6: Подставим значение C в уравнение:

|y+2| = |x+3|.

Шаг 7: Рассмотрим два случая:

Случай 1: (y+2) = (x+3):

y = x + 1.

Случай 2: (y+2) = -(x+3):

y = -x - 5.

Таким образом, частные решения дифференциального уравнения (a)(x+3)dy - (y+2)dx = 0 с начальным условием y(2) = 3 равны y = x + 1 и y = -x - 5.