Question

Вычислить высоту пирамиды с вершинами в точках A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3),D(3,2,4)

Answer 1

Даны вершины пирамиды A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3),D(3,2,4).

Будем считать, что требуется определить высоту из точки Д.

Находим векторы АВ и АС для определения площади основания АВС.

АВ = (-2; 5; -4), АС = (-4; 1; -2).

Их векторное произведение равно.

 i         j        k |        i         j

-2        5      -4 |      -2        5

-4        1      -2 |       -4        1 = -10i + 16j - 2k - 4j + 4i + 20k =  -6i + 12j + 18k.

Площадь грани ABС равна половине модуля полученного векторного произведения (-6; 12; 18).

S(ABСD) = (1/2)*√(36 + 144 + 324) = (1/2)√504= 3√14 ≈ 11,225.

Находим вектор АD = (1; 5; -1).

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения (АВхАС)*АД.

(АВхАС) = (-6; 12; 18),  АД = (1; 5; -1).

V = (1/6)*(-6*1 + 12*5 + 18*(-1)) = 36/6 = 6 куб.ед.

Теперь можно определить высоту ДН из точки Д на основание АВС.

ДН = 3V/S(ABC) = 3*6/(3√14) = 3√14 / 7 ≈ 1,6036.

Answer 2

Чтобы найти высоту пирамиды с вершинами в точках A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3) и D(3,2,4), можно воспользоваться формулой для высоты пирамиды, которая основана на площади основания и объеме пирамиды. Первым шагом найдем площадь основания пирамиды.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью векторного произведения векторов AB и AC:

$$\vec{AB} = \langle 0 - 2, 2 - (-3), 1 - 5 \rangle = \langle -2, 5, -4 \rangle,$$

$$\vec{AC} = \langle -2 - 2, -2 - (-3), 3 - 5 \rangle = \langle -4, 1, -2 \rangle.$$

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC:

$$\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 5 & -4 \\ -4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \langle 18, 0, 18 \rangle.$$

Площадь основания пирамиды равна половине модуля векторного произведения AB и AC:

$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}|\vec{N}| = \frac{1}{2}\sqrt{18^2 + 0^2 + 18^2} = \frac{1}{2}\sqrt{648} = 18.$$

Теперь найдем высоту пирамиды, используя формулу:

$$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \times h.$$

Известно, что объем пирамиды V равен 6 (объем ABCD):

$$6 = \frac{1}{3} \times 18 \times h.$$

Отсюда можно найти высоту пирамиды:

$$h = \frac{6 \times 3}{18} = 1.$$

Таким образом, высота пирамиды равна 1.