Question

2cos^2x+√2sinx=0 решите

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Исходя из основного тригонометрического тождества, выполним преобразование в данном уравнении

1 - sin^2x + 2sinx + 2 = 0  

- sin^2x  + 2sinx + 3 = 0    // : (-1)

sin^2x - 2sinx - 3 = 0  

Воспользуемся заменой.  

Допустим sinx = t,  причем t ∈ [ -1; 1]  

Тогда решим вспомогательное уравнение относительно t

t^2 - 2t - 3 = 0  

С помощью формулы дискриминанта, находим корни квадратного уравнения.

D = b^2 - 4ac = 4 + 12 = 16 = 4^2

t1 = ( 2 + 4)/2 = 6/2 = 3 ∉  [ -1; 1]  

t2 = ( 2 - 4)/2 = - 2/2 = - 1  

sinx = - 1  

x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z

Answer 2

Давайте решим уравнение 2cos^2x + √2sinx = 0:

1. Сначала, давайте заменим sin(x) через cos(x) используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

   sin(x) = √(1 - cos^2(x))

2. Подставим это выражение в уравнение:

   2cos^2(x) + √2√(1 - cos^2(x)) = 0

3. Теперь мы имеем уравнение с одной переменной, cos(x). Давайте его решим.

   2cos^2(x) + √2√(1 - cos^2(x)) = 0

   Поделим обе стороны на 2:

   cos^2(x) + √(1 - cos^2(x)) = 0

4. Теперь давайте избавимся от корня, возвести в квадрат обе стороны:

   cos^4(x) + 2cos^2(x)(1 - cos^2(x)) + (1 - cos^2(x)) = 0

5. Упростим уравнение:

   cos^4(x) + 2cos^2(x) - 2cos^4(x) + 1 - cos^2(x) = 0

   -cos^4(x) + cos^2(x) + 1 = 0

6. Теперь давайте введем замену: y = cos^2(x). Тогда уравнение примет вид:

   -y^2 + y + 1 = 0

7. Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта:

   D = 1 - 4*(-1)*1 = 5

8. Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

   y1 = (-1 + √5) / 2 y2 = (-1 - √5) / 2

9. Теперь, вернемся к исходной переменной cos(x):

   y1 = cos^2(x) y2 = cos^2(x)

10. Теперь возьмем квадратный корень от обоих корней:

cos(x) = ±√y1 = ±√((√5 - 1) / 2) cos(x) = ±√y2 = ±√((-√5 - 1) / 2)

11. Таким образом, у нас есть четыре возможных значения cos(x). Теперь, чтобы найти значения x, используйте обратную функцию косинуса:

x1 = arccos(√((√5 - 1) / 2)) x2 = -arccos(√((√5 - 1) / 2)) x3 = arccos(-√((-√5 - 1) / 2)) x4 = -arccos(-√((-√5 - 1) / 2))

Это все возможные решения данного уравнения.