Question

Y=x^4-2x^2+1 x0=0 h=0,5 численное дифференцирование, помогите пожалуйста

Answer 1

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Постановка задачи численного дифференцирования

2. Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона

3. Оценка погрешности дифференцирования с помощью многочлена Ньютона

4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

5. Оценка погрешности численного дифференцирования с помощью многочлена Лагранжа

Постановка задачи численного дифференцирования

Функция y = f(x) задана таблицей:

xx0x1...xnyy0y1...yn

на отрезке [a; b] в узлах a = x0 < x1 < x2 < : <xn =b</x. Требуется найти приближенное значение производной этой функции в некоторой точке х*  [a; b]. При этом х* может быть как узловой точкой, так и расположенной между узлами.

· Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона

Считая узлы таблицы равноотстоящими, построим интерполяционный полином Ньютона. Затем продифференцируем его, полагая, что f '(x)  φ'(x) на [a; b]:

 (1) 
Формула значительно упрощается, если производная ищется в одном из узлов таблицы:х* = xi = x0 + ih: 
 (2) 
Подобным путём можно получить и производные функции f (x) более высоких порядков. Однако, каждый раз вычисляя значение производной функции f (x) в фиксированной точке х в качестве х0 следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.

· Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

Запишем формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов в более удобном виде для дифференцирования: 
 
Затем, дифференцируя по х как функцию от t, получим: 
 
Пользуясь этой формулой можно вычислять приближённые значения производной таблично-заданной функции f (x) в одном из равноотстоящих узлов. 
Аналогично могут быть найдены значения производных функции f(x) более высоких порядков.

Answer 2

Для численного дифференцирования функции y = x^4 - 2x^2 + 1 при x0 = 0 и h = 0.5, мы можем использовать формулу приближенного дифференцирования:

y' = (y(x0 + h) - y(x0)) / h

где y' - значение производной функции y в точке x0.

Давайте вычислим значения функции y в точках x0 и x0 + h, а затем применим формулу для получения значения производной.

Вычисление значений функции y

Подставим x0 = 0 в функцию y = x^4 - 2x^2 + 1:

y(x0) = 0^4 - 2 * 0^2 + 1 = 1

Теперь вычислим значение функции y в точке x0 + h = 0 + 0.5 = 0.5:

y(x0 + h) = (0.5)^4 - 2 * (0.5)^2 + 1 = 0.9375 - 0.5 + 1 = 1.4375

Вычисление производной

Теперь, используя значения функции y(x0) = 1 и y(x0 + h) = 1.4375, а также значение h = 0.5, мы можем вычислить значение производной:

y' = (y(x0 + h) - y(x0)) / h = (1.4375 - 1) / 0.5 = 0.875 / 0.5 = 1.75

Таким образом, значение производной функции y = x^4 - 2x^2 + 1 при x0 = 0 и h = 0.5 равно 1.75.

Обратите внимание: Данный ответ основан на предоставленных вами данными и вычислениях. Пожалуйста, проверьте результаты самостоятельно, чтобы убедиться в их точности.