Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ Дан некоторый острый угол α=60∘. На одной из его сторон отмечены точки A1и A2, на другой стороне отмечена точка B. Вершина угла — Н. Известно, что HA1=2, A1A2=8. При какой величине отрезка HB величина острого угла между прямыми A1B и A2B будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрический подход. Первым шагом будет нахождение координат точек A1, A2 и B на плоскости. Затем мы найдем уравнения прямых A1B и A2B. После этого мы сможем выразить угол между этими прямыми через координаты точек и использовать его для нахождения максимального значения.

1. Вычислим координаты точек A1, A2 и B.

Пусть точка H будет началом координат. Так как угол α равен 60 градусам, то координаты точек A1 и A2 будут A1(2,0) и A2(10,0). Поскольку угол α равен 60 градусам, точка B будет иметь координаты B(2+8cos(60°), 8sin(60°)) = B(2+4, 4√3) = B(6, 4√3).

2. Найдем уравнения прямых A1B и A2B.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), задается уравнением y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1).

Таким образом, уравнение прямой A1B, проходящей через точки A1(2,0) и B(6, 4√3), будет:

y - 0 = (4√3 - 0)/(6 - 2) * (x - 2), что упрощается до y = (√3)x - 2√3.

А уравнение прямой A2B, проходящей через точки A2(10,0) и B(6, 4√3), будет:

y - 0 = (4√3 - 0)/(6 - 10) * (x - 10), что упрощается до y = - (√3)x + 10√3.

3. Вычислим угол между этими прямыми.

Угол между двумя прямыми задается формулой tg(θ) = |(k1 - k2)/(1 + k1 * k2)|, где k1 и k2 — это угловые коэффициенты прямых A1B и A2B соответственно.

Угловые коэффициенты прямых A1B и A2B равны √3 и -√3 соответственно.

Тогда tg(θ) = |(√3 - (-√3))/(1 + (√3)*(-√3))| = |(2√3)/(1 - 3)| = |2√3/(-2)| = |√3| = √3.

4. Найдем максимальное значение угла θ.

Максимальное значение tg(θ) достигается, когда θ = 60°.

Таким образом, значение угла между прямыми A1B и A2B будет максимальным, когда tg(θ) = √3, что соответствует углу θ = 60°.

5. Найдем величину отрезка HB.

Используя теорему косинусов в треугольнике HAB, можно найти отрезок HB:

HB² = HA1² + A1A2² - 2 * HA1 * A1A2 * cos(60°) = 4 + 64 - 16 = 52.

Тогда HB = √52 = 2√13.

Ответ: Величина отрезка HB равна 2√13, а угол между прямыми A1B и A2B равен 60 градусам.