Question

Дан некоторый острый угол α=60∘ . На одной из его сторон отмечены точки A1 и A2 , на другой стороне отмечена точка B . Вершина угла — Н . Известно, что HA1=2 , A1A2=8 . При какой величине отрезка HB величина острого угла между прямыми A1B и A2B будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Answer 1

Ответ: 2*sqrt(5). Пояснение: Выразим косинус угла между прямыми BA1  и BA2, при помощи теоремы косинусов.Обозначим BA1=a , BA2=b , α=угол между BA1  и BA2 ,

тогда cos(α)=(a^2+b^2-64)/(2*a*b). После этого нужно выразить а и b через x. Для этого тоже воспользуемся теоремой косинусов (рассматривая треугольники BHA1 и BHA2 соответственно). Получим a^2=x^2-2*x+4 , b^2= x^2-10*x+100 . Эти значения подставим в выражение для косинуса альфы. Теперь подумаем, когда угол между прямыми максимальный? ответ: когда косинус принимает минимальное значение.

Теперь у нас есть выражение для  cos(α) зависящее только от x ,и для получения ответа, нам нужно найти минимум этого выражения, то есть такой х , что выражение cos(α) минимально.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами треугольника и тригонометрией.

Поскольку угол α = 60°, треугольник HAA1 является равносторонним, так как все его углы равны 60°. Тогда A1A2 также равносторонняя сторона треугольника A1A2H.

Обозначим длину отрезка HB через х.

Из равностороннего треугольника HAA1 получаем, что A1A2 = HA1 = 2.

Заметим, что угол A1HB равен 180° - α = 120°, так как углы при основании равностороннего треугольника равны 60°, и их сумма составляет 180°.

Поскольку A1A2 = A2B = 2 и A1B = x + 8 (A1B состоит из отрезка A1A2 длиной 2 и отрезка A2B длиной x), применим закон косинусов для треугольника A1HB:

(A1B)² = (HA1)² + (HB)² - 2(HA1)(HB) * cos(A1HB)

(x + 8)² = 2² + x² - 2 * 2 * x * cos(120°)

x² + 16x + 64 = 4 + x² - 4x * cos(120°)

16x + 60 = -4x * cos(120°)

20x = -4x * cos(120°)

20 = -4 * cos(120°)

cos(120°) = -5

Так как косинус 120° равен -0.5, получаем:

20x = -4x * (-0.5)

20x = 2x

20x - 2x = 0

18x = 0

x = 0

Таким образом, значение отрезка HB должно быть равно 0, чтобы угол между прямыми A1B и A2B был максимальным.

Ответ: HB = 0.