Question

F(x)=cos x + x. Докажите что даная функция не имеет точек екстремума.

Answer 1

F(x) = cos(x) + x
f'(x) = -sin (x) + 1
1)Эта функция определена для всех действительных значений х, то есть f'(x) существует для всех действительных х.
2)Поскольку -1≤sin(x)≤1 при любом х, то и
-1≤-sin(x)≤1 при любом х.
значит, 0≤-sin(x)+1≤2. Производная нигде не меняет свой знак.

Из 1) и 2) следует, что f(x) не имеет точек экстремума

Answer 2

Для доказательства того, что данная функция F(x) = cos(x) + x не имеет точек экстремума, мы можем воспользоваться производной функции и исследовать её поведение.

1. Найдем производную функции F(x):

F'(x) = -sin(x) + 1

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, так как точки экстремума находятся в таких местах:

0 = -sin(x) + 1

sin(x) = 1

Для каких значений x синус равен 1? Это происходит при x = π/2 и периодически при x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

3. Теперь рассмотрим вторую производную F''(x), чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами:

F''(x) = -cos(x)

Подставим x = π/2 во вторую производную:

F''(π/2) = -cos(π/2) = 0

Следовательно, вторая производная равна нулю в точке x = π/2, что говорит нам о том, что у этой точки нет экстремума. Более того, вторая производная F''(x) всегда отрицательна для всех значений x, так как cos(x) ограничен в диапазоне [-1, 1]. Это означает, что функция F(x) не имеет точек минимума и максимума и не имеет точек экстремума.