Question

Если sinA=4/5,и cosB=12/13 и A и В углы острые,то найдите 13sin(A+B).

Answer 1

$\sin \alpha=\frac{4}{5}\\ \\ \cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1\\\\ \cos^2 \alpha= 1-\sin^2 \alpha\\ \\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{25-16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5} \\\\ \cos \beta=\frac{12}{13}\\ \\ \cos^2\beta+\sin^2 \beta=1\\\\ \cos^2\beta= 1-\sin^2 \beta\\ \\ \sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-(\frac{12}{13})^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}} =\sqrt{\frac{169-144}{169}}=\\\\=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$

$13\sin(\alpha +\beta )=13(\sin\alpha \cdot\cos\beta +\cos\alpha \cdot\sin\beta )=13(\frac{4}{5} \cdot\frac{12}{13}+\frac{3}{5} \cdot\frac{5}{13})=\\ \\ =\frac{48}{5}+3=9,6+3=12,6$

Ответ: $12,6$

Answer 2

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для синуса суммы двух углов: sin(A + B) = sinA*cosB + cosA*sinB.

У нас уже даны значения sinA и cosB, поэтому мы можем подставить их в формулу: sin(A + B) = (4/5)*(12/13) + cosA*sinB.

Чтобы найти cosA и sinB, нам понадобится использовать тригонометрическую тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Мы знаем, что sinA = 4/5, поэтому можем найти cosA: cosA = sqrt(1 - sin^2(A)) = sqrt(1 - (4/5)^2) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5.

Также у нас дано значение cosB = 12/13, поэтому можем найти sinB: sinB = sqrt(1 - cos^2(B)) = sqrt(1 - (12/13)^2) = sqrt(1 - 144/169) = sqrt(25/169) = 5/13.

Теперь мы можем вернуться к формуле sin(A + B) = (4/5)*(12/13) + (3/5)*(5/13) и вычислить значение:

sin(A + B) = (4/5)*(12/13) + (3/5)*(5/13) = 48/65 + 15/65 = 63/65.

Теперь найдем 13*sin(A + B):

13*sin(A + B) = 13*(63/65) = 819/65.

Таким образом, ответ на задачу составляет 819/65.