Question

В строку выписаны числа по следующему правилу: одна единица, потом две двойки, потом три тройки и так далее до девяти десяток. Затем 10 раз число 10, 11 раз число 11 и так далее. Какой будет 2016-я цифра в этой строке

Answer 1

Разобьем последовательность на блоки: ее часть, где n раз повторяется число n назовем блоком n; Предположим, что 2016 номер - это число или его часть, которая входит в блоки 10-99 (т.е двузначные числа). Последняя девятка в блоках 1-9 будет стоять под номером 9*10/2 = 45. Далее, каждое двузначное число будет занимать собой два места. Пусть это двузначное число находится под номером x (именно число, а не цифра, поскольку число занимает ровно одно место). Тогда имеем: $45+2\times\frac{2*10+1*(x-1)}{2}x=45+x(x+19)=2016$ - это номер числа. Решая квадратное уравнение получаем ,что $x\approx 35,9$, это означает, что цифра под номером 2016 принадлежит блоку 36+9 = 45. Найдем номер последней цифры 5 в блоке 45: $n=45+36\times(36+19)=2025$; Разница между 2025 и 2016 нечетна, значит 2016-ая цифра это 4

Answer 2

Для того чтобы найти 2016-ю цифру в этой строке, давайте сначала посчитаем, сколько цифр находится в каждом блоке.

1. Блок с одной единицей: 1 цифра.
2. Блок с двумя двойками: 2 цифры.
3. Блок с тремя тройками: 3 цифры.
4. ...
5. Блок с десятью десятками: 10 цифр.
6. Блок с одиннадцатью одиннадцатками: 11 цифр.
7. ...

Теперь найдем, в каком блоке находится 2016-я цифра. Для этого мы будем вычитать количество цифр в каждом блоке из 2016, пока не найдем блок, где она находится.

1. 2016 - 1 = 2015 (осталось 2015 цифр)
2. 2015 - 2 = 2013 (осталось 2013 цифр)
3. 2013 - 3 = 2010 (осталось 2010 цифр)
4. ...
5. 2003 - 9 = 1994 (осталось 1994 цифр)
6. 1994 - 10 = 1984 (осталось 1984 цифр)

Таким образом, 2016-я цифра находится в блоке с десятью десятками. Теперь мы можем найти позицию этой цифры в блоке. Поскольку в этом блоке 10 цифр (от 10 до 19), мы можем найти позицию, вычтя 1984 из 2016:

2016 - 1984 = 32.

Таким образом, 2016-я цифра находится на 32-й позиции в блоке с десятью десятками. Поскольку в этом блоке цифры увеличиваются на 1 (от 10 до 19), то 2016-я цифра будет равна 10 + 32 - 1 = 41.

Итак, 2016-я цифра в данной строке - это 4.